V = S = P • Nikolay Avilov • Popularne problemy naukowe na temat "Elementów" • Matematyki

V = S = P

Zadanie

Czy jest tam jest wypukłym wielościanem, którego wartości liczbowe objętości, pola powierzchni i sumy długości wszystkich krawędzi pokrywają się?


Podpowiedź

Taki wielościan istnieje, na przykład, wśród właściwych pryzmatów.


Rozwiązanie

Podążając za wskazówką, poszukaj odpowiedniego pryzmatu. Prawidłowy pryzmat jest określony przez liczbę n boki podstawowego wielokąta a i wysoki h.

Suma długości wszystkich jego krawędzi to:

\ [P = 2na + nh. \]

Ponieważ podstawowy wielokąt jest regularny, jego obszar, jak łatwo go znaleźć, to \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Teraz łatwo jest znaleźć pozostałe parametry pryzmatu, które pojawiają się w problemie.

Jego objętość V jest równy:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

Powierzchnia S jest równy:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Z równości V = S uważamy, że \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). Tak więc h > 2. Możesz również przepisać wyrażenie dla woluminu w postaci \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \).

Z równości V = P relacje \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) i

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

Oczywiste jest, że funkcja \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) na przedziale \ ((0; \; {+ \ infty}) \) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie (i nie ma innych). Dlatego koniecznym i wystarczającym warunkiem istnienia poszukiwanego pryzmatu jest: spełnienie nierówności \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), co jest prawdziwe dla \ (n> 12 \).


Posłowie

Zobaczmy, co dzieje się w podobnej sytuacji w samolocie. Na przykład w kwadracie 4 × 4 wartości liczbowe obszaru i obwodu są takie same. Ta sama własność posiada prostokąt 3 × 6 i trójkąt prostokątny z nogami 5 i 12 (ryc. 1).

Ryc. 1.

Jak wiadomo, prostokąt nie jest sztywną figurą: jeśli umieścisz zawiasy na swoich wierzchołkach, nie zostaną one same ustalone (jak na przykład występuje w przypadku trójkąta lub czworościanu). Za pomocą tego można wykazać, że istnieje równoległobok o równych wartościach obszaru i obwodu. Łatwo znaleźć prostokąt, którego powierzchnia jest większa niż obwód: dopasuje się prostokąt z bokami 8 i 5. Jeśli stopniowo zmniejszysz jeden z kątów prostych prostokąta z 90 ° do 0 °, to najpierw prostokąt zmieni się w równoległobok, obwód pozostaje równy 26, a po drugie, jego powierzchnia będzie stale zmniejszać się z 40 do 0, aw pewnym momencie stanie się równa 26. Będzie to niezbędny równoległobok. Ten proces jest przedstawiony w ramowym modelu prostokątnym (ryc. 2). Jest oczywiste, że takie równoległoboki są nieskończenie liczne.

Ryc. 2

Pokazujemy, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów, w których wartości liczbowe obszaru i obwodu są równe.Dzielimy wszystkie trójkąty na klasy, z których każda zawiera wszystkie podobne trójkąty. Okazuje się, że w każdej takiej klasie istnieje trójkąt, w którym wartości liczbowe obszaru i obwodu są równe. Rozważ jeden z trójkątów klasy. Niech jego obszar będzie S1a obwód jest P1, a następnie podobny trójkąt ze współczynnikiem k ma obszar S2 = k2S1 i obwód P2 = kP1. Jeśli weźmiesz pod uwagę współczynnik podobieństwa k = P1/S1następnie otrzymujemy trójkąt z \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Co było wymagane.

Na przykład weź trójkąt egipski. Jego obwód to \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), a obszar \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Trójkąt podobny do tego o współczynniku podobieństwa 2 będzie miał wskazaną właściwość: jest to trójkąt prostokątny z nogami 6 i 8 (rys. 3, po lewej). Można również rozważyć trójkąty równoboczne. Wśród nich niezbędna właściwość ma trójkąt z bokiem \ (4 \ sqrt % \): jego powierzchnia i obwód są równe \ (12 \ sqrt % \).

Ryc. 3

Argumentując w podobny sposób, można pokazać, że w każdej klasie podobnych wielokątów jest taki, w którym wartości liczbowe obszaru i obwodu są równe.

W przestrzeni trójwymiarowej naturalne jest dodanie warunku do równości objętości, jak to miało miejsce w przypadku stwierdzenia problemu.Z rozwiązania jasno wynika, że ​​nie każdy "typ" wielościanu pozwala na równość objętości, powierzchni i całkowitej długości krawędzi: pośród poprawnych npryzmaty z węglika n <12 nie ma żadnych.

W szczególności nie ma takiego sześcianu i prostokątnego równoległościanu (ponieważ są to czworoboczne pryzmaty). W przypadku takich wielościanów łatwo jest jednak dokonać kontroli czołowej. Na przykład dla kostki jest to zrobione w ten sposób. Kostka z krawędzią a ma objętość V = a3powierzchnia S = 6a2 i suma długości krawędzi P = 12a. Jeśli S = P, a następnie 6a2 = 12ato znaczy a = 2. Ale wtedy S = P = 24, i V = 8.

Niemniej jednak, w przypadku niektórych wielościanów, może działać rozumowanie podobne do trójkąta. Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie takie wielościany, to suma długości krawędzi będzie się różnić proporcjonalnie do pierwszego stopnia współczynnika podobieństwa, pole powierzchni będzie proporcjonalne do drugiego stopnia, a objętość będzie proporcjonalna do trzeciego stopnia. Oznacza to, że problem ogranicza się do tego pytania: czy odpowiednie linie, parabole i sześciany przecinają się w jednym punkcie? Zmiana kształtu wielościanu w takim preparacie odpowiada przesunięciom tych krzywych w płaszczyźnie.I jest całkiem oczywiste, że w niektórych przypadkach można je ustawić tak, aby przecinały się w jednym punkcie. Ale czy można w jakiś sensowny sposób opisać wszystkie odpowiednie wielościany? … Jeśli masz pomysły na ten temat – napisz w komentarzach do problemu!


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: