"Twarde" tilings • Khaidar Nurligareev • Popularne zadania naukowe w "Elementach" • Matematyka

„Twarde” tilings

Zadanie

Łatwo jest posortować płaszczyznę za pomocą identycznych trójkątnych płytek (ryc. 1, po lewej). Taki schemat jest odpowiedni dla każdego trójkąta. Można powiedzieć, że to kafelkowanie jest "niesztywne" w tym sensie, że jeśli nieznacznie zmienimy proporcje trójkątów (muszą one być równe), to ponownie otrzymujemy układanie płaszczyzny zgodnie z tym schematem (ryc. 1, po prawej).

Ryc. 1.

Ale dzieje się to w inny sposób. Spójrz na zdjęcie. 2: tutaj także wszystkie trójkąty są równe, ale ten schemat działa tylko dla całkowicie określonych proporcji trójkątów. Można powiedzieć, że takie przechylanie jest "trudne".

Ryc. 2

a) Zakładając, że wszystkie trójkąty na rys. 2 są równe znaleźć ich kąty i współczynniki kształtu. Udowodnij toz figury są jednoznacznie określone.

b) Wymyśl "twarde" układanie równych wypukłych czworokątów.

c) Wymyśl "twarde" układanie równych pięciokątów (niekoniecznie wypukłych).


Wskazówka 1

a) Aby uzyskać warunek, że kąty trójkąta muszą spełniać, wystarczy użyć faktu, że suma kątów sąsiadujących z każdym wierzchołkiem wynosi 360 °. Aby poszukać warunków po bokach, warto wziąć pod uwagę segmenty utworzone z kilku boków sąsiednich trójkątów.

Zwróć uwagę, że kąty i boki nie mogą się zmieniać niezależnie od siebie, są ze sobą powiązane. Co więcej, związek między kątami i współczynnikami kształtu jest jeden do jednego. W rzeczywistości, znając współczynnik kształtu, można określić wartości kątów za pomocą twierdzenia cosinus. Znając kąty, możesz znaleźć proporcje według twierdzenia o sinusoidzie. Aby rozwiązać problem, wystarczy znaleźć tylko dwa równania na bokach lub kątach.


Wskazówka 2

b), c) Podstawowa idea jest następująca. Aby dachówka była "twarda", kopie tej samej płytki, wchodzące do niej, muszą stykać się ze sobą na tyle różnych sposobów, na ile jest to możliwe. Następnie każda z tych metod da pewne równania dla kątów i boków, a im więcej równań – tym mniej stopni swobody.

Istnieje kilka sposobów na próbę skonstruowania takiego kafelka, którego kopie mogą być nakładane na siebie na różne sposoby. Jednym z nich jest narzucenie pewnych charakterystycznych ograniczeń na płytce. Na przykład wyszukaj go w klasie wielokątów o równoległych bokach. Lub wśród płytek, które strony są równe. Dobrym pomysłem może być rozważenie kątów, które dzielą 360 ° i są ich wielokrotnościami.

Innym możliwym sposobem jest próba użycia znanych już nachyleń, na przykład takich jak na rys. 3. Następnie musisz spróbować zrobić nową dachówkę z kilku płytek lub kawałków płytek, które są zawarte w oryginalnej nawierzchni. I tylko wtedy z kopii uzyskanej płytki, aby ułożyć "twardą" nawierzchnię, w której konturach zostanie odgadnięta oryginalna nawierzchnia.

Ryc. 3


Rozwiązanie

a) Oznacz boki i rogi trójkątnej płytki, jak pokazano po lewej stronie na ryc. 4. Następnie rozważenie segmentu utworzonego przez boki czterech trójkątów (w środku na ryc. 4) pozwala nam uzyskać stosunek do boków: a + c = 2b. Patrząc na górę, w której zbiegają się trzy trójkąty (po prawej na Rys. 4), rozumiemy, że 2γ = 180 °. Zatem γ = 90 °, czyli trójkąt jest prostokątny. Stąd spełnia twierdzenie Pitagorasa: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Ryc. 4

Teraz, aby znaleźć pożądane relacje, całkiem proste obliczenia:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Stąd otrzymujemy

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Odpowiednio, kąty trójkąta są równe \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

b) Rozważ prostokątny trapez złożony z kwadratu i trójkąta prostokątnego, równy połowie tego kwadratu (ryc. 5, po lewej). Kopie tego trapezu można łączyć ze sobą na wiele różnych sposobów.Ponieważ chcemy, aby powstała nawierzchnia była "twarda", na początek musimy wykonać takie konfiguracje z określonych płytek trapezowych, które definiują relacje boków i kątów trapezu w sposób jednoznaczny. Jest to łatwe do osiągnięcia. Na przykład, łącząc figury czterech płytek pokazanych na ryc. 5, osiągniemy równość γ = δ = 90 ° i wykonując krzyż z ośmiu płytek, otrzymamy warunek α = 45 °. Jeśli z trzech płytek zbierzesz figurę pokazaną na ryc. 5 po prawej, następnie równość 2a = b.

Ryc. 5

Oczywiście, jeśli czworobok spełnia cztery powyższe równości, to z pewnością reprezentuje nasz prostokątny trapez. Dlatego każde wyłożenie, w którym napotykamy wszystkie powyższe konfiguracje, z pewnością okaże się "twarde" w tym sensie, że zgodnie z tym samym schematem, nie będzie możliwe złożenie płytek z jakiegokolwiek innego czworoboku. Istnieje niezliczona ilość podobnych tilings; na przykład takie jest kafelki pokazane na rys. 6

Ryc. 6

Zwróć uwagę, że chociaż kafelki na ryc. 6 zgodnie z naszą definicją "twardego", łatwo ulega deformacji: można swobodnie przesuwać płytki,znajduje się w tym samym poziomym lub pionowym rzędzie wzdłuż odpowiedniej linii prostej. Można tego uniknąć, dodając je w inny sposób. Na przykład, jak pokazano na rys. 7

Ryc. 7

c) W sercu tilingu pokazanego na ryc. 6 i rys. 7, możesz odgadnąć standardowy parkiet kwadratów (ryc. 3, z prawej). Pokażemy, jak w podobny sposób można uzyskać "twardy obraz" pięciokąta niebędącego wypukłem, wykorzystując jako podstawę płytki z regularnymi trójkątami (ryc. 3, po lewej). Aby to zrobić, weź kafelek złożony z dwóch regularnych trójkątów i dwóch kolejnych połówek takich trójkątów (ryc. 8 po lewej).

Ryc. 8

Podobnie jak w poprzednim akapicie, najpierw określamy cztery konfiguracje, które definiują kafelek, który rozważamy w sposób unikalny. Pokazano je na ryc. 8. Pierwszy z nich ustawia kąt ε = 90 °. Drugi pozwala zapisać relację 3γ + 2ε = 360 °, a ponieważ kąt ε jest już ustalony, otrzymujemy γ = 60 °. Podobnie, trzecia konfiguracja daje równość α + γ + 3ε = 360 °, skąd α = 30 °. Ostatecznie ta ostatnia konfiguracja pozwala nam zrozumieć, że β + 2γ = 360 °, czyli β = 240 °. Jeśli chodzi o kąt δ, określa się go na podstawie faktu, że suma kątów pięciokąta wynosi 540 °, a δ = 120 °.

Ryc. 9

Okazuje się, że tylko konfiguracja pokazana pośrodku na rys. 8, wystarczy na równość b = e = a = d. Dlatego powyższe cztery konfiguracje rzeczywiście definiują wyjątkowo pięciokątną płytkę. Pozostaje więc podać przykład wyłożenia, które obejmuje wszystkie z nich. Konstruując go, idea konstruowania pasków pomaga: po pierwsze, z kopiami naszych płytek, generujemy nieskończony pasek, który można nałożyć na siebie (rys. 9). A następnie pokrywamy całą płaszczyznę takimi paskami (ryc. 10). Zwracamy uwagę na szerokie zastosowanie idei projektowania pasków: podobna "prążkowana" struktura ma zarówno tilings, które zbudowaliśmy przy rozwiązywaniu punktu b)i, ogólnie rzecz biorąc, każda okresowa kostka składa się z pasm. Jednak sprawa nie ogranicza się do okresowych tilings (jak można zaobserwować, na przykład, w problemie Polamimina Parqueta).

Ryc. 10

W naszym przykładzie płytka nie jest wypukła, ale nie jest to absolutnie konieczne, aby wygenerować "twardą nawierzchnię". Rozważ pięciokątny kafelek pokazany na rys. 11 – składa się z kwadratu i dwóch trójkątów prostokątnych o mniejszym kącie 22,5 °.Okazuje się, że kopie takiej płytki można również układać w "twardą" płaszczyznę, jak pokazano po prawej stronie na ryc. 11. Prawdą jest, że jest to nieco trudniejsze do udowodnienia niż "sztywność" plam, które napotkaliśmy wcześniej. Niemniej jednak, zarysujmy główne punkty tego dowodu.

Ryc. 11

Przede wszystkim ze schematu, zgodnie z którym płytki układane są w stosy, jasne jest, że strony spełniają te zależności a = e = b i c = b + d. Jeśli chodzi o narożniki, można na nich skompilować cztery równania, z których jasno wynika, że ​​α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° i β + 180 ° = 2γ. Dlatego, wprowadzając kąt φ = δ / 2, możemy wyrazić przez to inne kąty:

\ [\ alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Teraz główna idea jest następująca. Aby dachówka była "twarda", konieczne jest, aby nie posiadał stopni swobody. Obecnie nasz kafel ma dwa parametry, które możemy zmieniać: kąt φ i współczynnik kształtu a i d. Jednak zmiany te nie mogą być arbitralne, ponieważ parametry są ze sobą powiązane. Jeśli po przeanalizowaniu natury tego połączenia, pokażemy, że dla tego schematu realizowana jest tylko skończona liczba możliwych kątów i współczynników kształtu, to natychmiast nastąpi, że żądane kafelkowanie jest "twarde".

Wprowadzamy notację, jak pokazano w lewym dolnym rogu na ryc. 11. Ponieważ CDEF – równoboczny trapez, a następnie podstawa

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Dlatego możemy znaleźć stosunek segmentów a i dwyrażanie segmentu Bf za pomocą twierdzenia cosinus w trójkątach ABF i CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformacja, otrzymujemy

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Z drugiej strony możemy znaleźć stosunek segmentów a i dwyrażanie segmentu AC za pomocą twierdzenia cosinus w trójkątach ABC i AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Jeśli \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), czyli jeśli pięciokąt jest inny od naszego, dojdziemy do następującego równania:

\ [\ dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

W szczególności widać stąd, że jest to możliwe tylko z \ (\ cos2 \ varphi <0 \), i

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Ostatnie równanie może mieć tylko skończoną liczbę rozwiązań. W związku z tym omawiane nawierzchnie są "trudne".


Posłowie

Wszystkie omówione powyżej tilings jako część tego zadania, w zasadzie używane jeden pojedynczy wielokątne płytki. Skopiowaliśmy tę płytkę, a następnie pokryliśmy całą płaszczyznę kopiami bez przerw i nakładek. Takie nachylenia są nazywane monohedralnya podstawowym wielokątem jest protoplitka. Jak widzieliśmy, nawet pomimo zakazu używania płytek różnych typów, powstałe obrazy były bardzo różnorodne. W wielu przypadkach przechwałki z tym protoplitem okazują się nieskończenie liczne, co więcej – ich niezliczona liczba. W tym samym czasie, dla innych protoplices (jak, powiedzmy, dla regularnego sześciokąta), kafelkowanie jest unikalne, a niektóre protoplity w ogóle nie pozwalają na układanie płytek.

Byłoby naturalne zapytać, jak za pomocą danego wielokąta zrozumieć, czy możliwe jest pokropienie samolotu jego kopiami. Jednak algorytm, który pozwoliłby odpowiedzieć na to pytanie, po otrzymaniu kafelka przy wejściu, i na wyjściu, który dał wynik "tak" lub "nie", jest nieznany ludzkości. Ponadto istnieją poważne powody, aby wątpić, że w zasadzie istnieje. Omówimy pokrótce, co może w tym przeszkodzić. W tym celu warto przynajmniej pozornie zapoznać się z grupą symetrii tilingu.

Symetria Takie układanie płytek nazywa się takim ruchem płaszczyzny, co przekłada się na to, że kafelek w siebie. Z grubsza mówiąc, jeśli przez długi czas patrzyłeś na przechylenie, a potem odwróciłeś się,ale ktoś za twoimi plecami przeniósł wszystkie płytki, tak że po pierwsze, odległości pomiędzy płytkami są zachowane, a po drugie, odwracasz się i nie możesz znaleźć różnicy – to jest symetria. Jeśli wśród zestawu wszystkich symetrii kafli znajdują się dwie nie skierowane równoległe translacje, to ta tablica jest wywoływana okresowe. Na przykład nachylenia na rys. 6, 7, 10 i 11, a nawet wszystkie te plamy, które do tej pory omawialiśmy. Jednak we wszystkich tych przykładach łatwo jest zmienić układ płytek, aby ta właściwość nie była już ważna.

Okresowe nachylenia charakteryzują się obecnością tzw podstawowy obszar – taki podzbiór płytek, że wszystkie nawierzchnie można uzyskać przez równoległe transfery tego podzbioru (to tylko nasze "pasy", o których wspomniano w decyzji). Dlatego próbując odpowiedzieć na pytanie, czy możliwe jest wybrukowanie całej płaszczyzny kopiami tej protoplicy, raczej naturalne jest działanie w następujący sposób. Konieczne jest przejście przez wszystkie możliwe opcje, łączenie płytek ze sobą, a jeśli w pewnym momencie powstanie fundamentalny obszar, wtedy jest kafelkowanie.A jeśli wylistujemy wszystkie opcje, ale nie znajdziemy podstawowego obszaru, to ten prototyp nie pozwala na układanie płytek.

Jednak ta metoda wyszukiwania ma znaczną wadę. Nagle okazało się, że nasza protoplica jest aperiodycznato znaczy, że można ułożyć całą płaszczyznę kopiami, ale wszystkie te nachylenia są nieokresowe? Wtedy wszystkie sposoby łączenia płytek nigdy się nie zakończą, ponieważ mogą pokryć kawałek arbitralnie dużego rozmiaru. Ale nie będziemy w stanie znaleźć fundamentalnego obszaru, ponieważ nie ma okresowego przechyłu. Więc przejdziemy opcje do nieskończoności i nigdy się nie zatrzymamy.

Niezależnie od tego, czy istnieją aperiodyczne protoplity, obecnie nie wiadomo na pewno – postulując ten fakt hipoteza Conwaya jeszcze nie udowodnione. Istnieje więc pewne prawdopodobieństwo, że powyższy algorytm pozwala nam odpowiedzieć na pytanie, czy możliwe jest zbudowanie nawierzchni opartej na tym protoplycie, czy też nie. Jednak w przestrzeni trójwymiarowej podobna hipoteza została rozwiązana pozytywnie, a także na płaszczyźnie Łobaczewskiego. Poza tym kosztuje nas zwiększenie liczby używanych protopoli do dwóch, ponieważ od razu odkrywamy przykład aperiodycznego zestawu – słynnej mozaiki Penrose'a (ryc. 12).

Ryc. 12 Mozaika Penrose.Zdjęcie z ru.wikipedia.org

Jeśli nie ma pewności, czy z danego pola można zawsze zrozumieć, czy przyznaje się do układania samolotu, czy nie, należy rozważyć mniej ogólny przypadek i nałożyć wszelkie ograniczenia na protoplicę. Przede wszystkim zakładamy, że wszystkie wielokąty, które składają się na płytki, są wypukłe. Ten warunek okazuje się dość silny: okazuje się, że liczba boków wypukłego prototypu, który dopuszcza brukowanie, nie przekracza 6. Jednak również tutaj występują poważne trudności.

Ryc. 13

Łatwo jest upewnić się, że cała płaszczyzna może być pokryta kopiami dowolnego trójkąta, a także kopiami dowolnego czworokąta – tutaj nawet warunek wypukłości nie jest potrzebny (rys. 13). Jednak z pięciokątami wszystko nie jest takie proste. Badanie pięciokąta o kształcie monoheanu ma bogatą historię, a nawet teraz nie ma całkowitej pewności, że to zadanie znalazło swój logiczny wniosek. Najwyraźniej Carl Reinhard był pierwszym, który sklasyfikował w 1918 roku, podkreślając pięć typów wypukłych pentagonalnych nachyleń (ryc. 14). Każdy typ charakteryzował się pewnym zestawem warunków na bokach i narożnikach, które pozostawiły jednak pewną swobodę – wszystkie te nachylenia były "niesztywne".Pół wieku później, w 1968 roku, Richard Kirchner poinformował świat o odkryciu trzech kolejnych rodzajów tilingu, twierdząc, że w przypadku tych ośmiu typów wszystko jest wyczerpane. Okazało się jednak, że się mylił: w 1975 roku Richard James, po przeczytaniu artykułu znanego popularyzatora nauki, Martina Gardnera, znalazł inny typ. Ale prawdziwy przełom w ciągu najbliższych dwóch lat sprawiła gospodyni domowa Marjorie Rice, która przeczytała ten sam artykuł – udało jej się znaleźć aż cztery nowe typy stropów monoedralnych z wypukłymi pięciokątami.

Ryc. 14 15 jednościennych nachyleń płaszczyzny pięciokątów. Zdjęcie z forbes.com

Historia się jednak nie kończyła: czternasty bruk został znaleziony przez Rolfa Stein'a w 1985 r. – w przeciwieństwie do wszystkich poprzednich, był "twardy". Trzydzieści lat później grupa badaczy, w skład której wchodzili Casey Mann, Jeniffer MacLeod i David von Durey, korzystając z obliczeń komputerowych, odkryła piętnasty bruk, który również nie posiadał stopnia swobody. Wreszcie, w 2017 r. Michael Rao przedstawił dowód, że nie ma innych pięciokątnych nachyleń. Jednak, aby to udowodnić, Rao użył specjalnie napisanego programu komputerowego, który wywołuje pewien sceptycyzm w części społeczności naukowej, chociaż został niezależnie odtworzony i zweryfikowany.

Inne podejście do klasyfikacji monodentowych nachyleń opiera się na fakcie, że skupiamy się na właściwościach płytek w odniesieniu do grupy symetrii. Jeśli dla dowolnych dwóch płytek w chodniku istnieje symetria, która zabiera pierwszą płytkę do drugiej, to taka kostka nazywa się izohedralny. Mówiąc ogólniej, mówimy o tym palowaniu k-izoedrycznajeśli zestaw jego płytek jest podzielony na k klasy pod działaniem grupy symetrycznej. Na przykład nachylenia na rys. 13 są izohedralne, ponieważ każda płytka może zostać przekształcona w dowolną inną przez równoległe przeniesienie (takie płytki są malowane na jeden kolor) lub przez obracanie (takie płytki są malowane w różnych kolorach). I brukowanie na ryżu. 11 jest już 2-izohedralny: płytki pomalowane na żółto mogą być przekształcane w siebie, tak że płytki są samo łączone, tak jak niebieskie płytki mogą być przekładane na siebie, ale niebieska płytka nie może być przełożona na kolor żółty. Inne tilings, które widzieliśmy w rozwiązaniu są również k-isohedral dla różnych k. Aby to zobaczyć, przerysowujemy je tak, aby płytki mogły być tłumaczone na siebie przez symetrię płytek wtedy i tylko wtedy, gdykiedy są pomalowane na jeden kolor (jak to było z brukiem z warunku, który, jak rozumiemy, jest 3-izoedryczny). Zrobiwszy to, widzimy to dla jednego z nich k = 8 (rys. 15, po lewej), dla sekundy k = 16 (ryc. 15, z prawej), a dla trzeciego k = 10 (ryc. 15, poniżej).

Ryc. 15

Isohedralne nachylenia za pomocą wypukłych wielokątów można klasyfikować. Wszystko jest dostępne:

  • 14 izoedrycznych kostek brukowych trójkątnych,
  • 56 izohedralnych płytek z wypukłymi czworobocznymi płytkami,
  • 24 izohedralne układanie płytek za pomocą wypukłych pięciokątnych płytek,
  • 13 izohedralnych płytek z wypukłymi sześciokątnymi płytkami.

Zasadniczo są one "niesztywne" (jak pokazano w kafelkach na Rys. 13). Ale niektóre z nich podczas deformacji przestają być izoedryczne. Na przykład takie jest układanie płytek na rys. 16: możemy przesunąć poziome paski względem siebie, ale potem trójkąt z poziomą podstawą nie może zostać przekształcony w trójkąt o podstawie nachylonej symetrycznie.

Ryc. 16

Aby sklasyfikować k– izoedralne tilings z k > 1 jest również możliwe. Jednakże, podobnie jak w przypadku płytek z nie wypukłymi płytkami, jest to znacznie bardziej skomplikowane, a już teraz przypadek 2-izoedralnych plam jest trudny do zauważenia ze względu na ogromną liczbę opcji rozgałęzień. I o wielkich wartościach k nawet nie będziemy rozmawiać.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: