Turtle i Achilles • Evgeny Epifanov • Popularne zadania naukowe na temat "Elementów" • Matematyki

Turtle i Achilles

Zadanie

Achilles znajduje się 1 metr od nieruchomej ściany, do której przymocowana jest gumka na jednym końcu (uważamy gumę za idealną, czyli zdolną do rozciągania się w nieskończoność). Drugi koniec taśmy Achilles trzyma w dłoni. Przy ścianie na wstążce siedzi żółw. W tym samym czasie oboje zaczynają się poruszać: Achilles biegnie od ściany z prędkością 10 m / s i rozciąga wstęgę, a żółw pełznie w jego kierunku wzdłuż taśmy z własną prędkością 10 cm / s. Przebije kiedykolwiek żółw Achillesa? Jeśli uważasz, że odpowiedź na to pytanie brzmi "tak", to spróbuj oszacuj czas, jaki zajmie żółw.


Podpowiedź

Rozwiązania problemu można podejść na dwa nieznacznie różne sposoby. Po pierwsze, możesz obliczyć prędkość żółwia względem ściany, w zależności od czasu. Jeśli w pewnym momencie jej prędkość będzie większa niż prędkość Achillesa (która się nie zmienia), to jasne jest, że dogoni go. Po drugie, możliwe jest obliczenie, w jaki sposób proporcja drogi przebytej przez żółwia zmienia się w czasie.


Rozwiązanie

Natychmiast się zgodzimy, że uważamy zarówno Achillesa, jak i żółwia za punkty.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że żółw nie ma szans na dogonienie Achillesa – w końcu tak szybko ucieka od niej! Ale jeśli o tym pomyślisz, układ sił już nie będzie tak oczywisty.Faktem jest, że wstążka, na której siedzi żółw, jest ciągle rozciągnięta. Dlatego nawet jeśli żółw nagle zatrzyma się w pewnym momencie, nadal będzie się oddalał od ściany. Ale nasz żółw jest niespokojny, niestrudzenie czai się za uciekającym bohaterem, a to oznacza, że ​​przez cały czas zmniejsza udział taśmy, która oddziela ją od celu. Pytanie brzmi, jak szybko to robi.

Ważne jest, aby zrozumieć, że odpowiedź na pytanie, czy żółw dogoni Achillesa, nie została jeszcze odebrana. Rozważmy sytuację, w której pozostały udział taśmy zmniejsza się cały czas, ale żółw nie dogoni Achillesa. Pozwól mu najpierw usiąść na środku taśmy (daj jej przewagę) i za każdą sekundę pokonaj dokładnie połowę pozostałej części taśmy (wszystkie pomiary są wykonywane w ułamkach długości taśmy, co może być uznane za równe 1, pomimo faktu, że w stosunku do "stacjonarnego obserwatora" taśma jest przedłużana przez cały czas). W sekundę żółw znajdzie się na 3/4 aktualnej długości taśmy (która w tym momencie będzie wynosić 11 metrów), w innej sekundzie – przez 7/8 itd. Można zauważyć, że żółw stale zbliża się do końca taśmy – przez n sekundy będą musiały przezwyciężyć tylko część taśmy, to całkiem sporo (na przykład w ciągu jednej minuty długość taśmy wyniesie 601 metrów, a żółw będzie się czołgać z tej odległości, która jest mniejsza niż jeden nanometr). Problem polega na tym mniej niż 1, to znaczy, w żadnym końcowym momencie żółw nie osiąga końca taśmy.

Teraz jednak, obliczyć, co dzieje się w naszym zadaniu. W każdej sekundzie ustalimy położenie żółwia na taśmie. (Możemy założyć, że raz na sekundę Achilles przesuwa się o 10 metrów, wydłuża taśmę, a żółw skrada się po 10 centymetrach. To założenie nie zmienia istoty tego, co się dzieje – wydaje się, że obserwujemy proces na podstawie zdjęć zrobionych w drugich odstępach czasu.) Przepuść n kilka sekund po rozpoczęciu ruchu żółw już się rozwinął xn (przypomnijmy, że na samym początku oceniamy jego postępy w udziale 1 – pełnej długości taśmy; x0 = 0). Jak zmieni się jej pozycja w ciągu sekundy? Po pierwsze, taśma będzie rozciągać się do 10 metrów, a jej długość będzie wynosić 1 + 10 (n + 1) metrów. W tym samym czasie udział drogi przebytej przez żółwia nie zmieni się, ponieważ porusza się również podczas rozciągania wstęgi. Następnie żółw pełza 10 centymetrów, czyli tyle z długości taśmy.Uzyskaj zależność . Możesz uzyskać wyraźną formułę dla xn+1. Aby to zrobić, w formule konieczne jest przejście do wszystkich wcześniejszych członków sekwencji. Oto co się dzieje:

.

Mówiąc ściślej, tę kwotę można zapisać jako: . Musimy się dowiedzieć, czy ta kwota może być duża n przejść przez 1, a jeśli tak, to w przybliżeniu co n to się stanie. Zanim zaczniesz dalej czytać, sprawdź swoją intuicję: jeśli możesz n xn mieć więcej niż 1? (Pierwszy termin w sumie to 1/110, drugi to 1/210 itd.)

Tak więc i musimy zrozumieć, w jaki sposób kwota ta zmienia się wraz ze wzrostem n. Aby ułatwić kalkulację, nieznacznie modyfikujemy warunki w tej kwocie. Zmniejszy się je, zastępując od 1 do 10: . Oczywiście, cała kwota jest zmniejszona. Ale jeśli chodzi o tę nową ilość, okazuje się, że jest w niektórych n będzie większy niż 1, wtedy oryginał również będzie większy niż 1 n. Dlatego badamy x 'n. Przepisz ponownie tę kwotę, odrzucając ostatni termin (to zmniejszy to nieco więcej): . Jeśli pomnożymy tę równość przez 100 i dodamy 1 do obu części, to po prawej stronie równości otrzymamy n-I częściowa suma serii harmonicznych: . Ten wiersz rozbieżności – Jakąkolwiek dużą liczbę planujesz, z dostatecznie dużą n cząstkowe kwoty z tej serii będą większe niż twój numer. W szczególności takie są nta kwota będzie mieć więcej niż 101, czyli 100x 'n + 1> 101, co oznacza, że x 'n > 1 i odpowiednio xn > 1.

Więc żółw dogoni Achillesa. Jedynym problemem jest to, że stanie się to wkrótce. Zgodnie z formułą Eulera ≈ ln n + γ, tutaj ln jest logarytmem naturalnym (na podstawie e), a γ ≈ 0,5772 … jest stałą Eulera-Mascheroniego. Dlatego żółw będzie potrzebował porządku e100 ≈ 1044 sekund, aby dogonić Achillesa (w rzeczywistości trochę mniej ze względu na nasze szacunki, ale nie spowoduje to żadnego znaczącego błędu). Dla porównania: według współczesnych szacunków wiek Wszechświata wynosi w przybliżeniu 4,3 · 1017 sekundy


Posłowie

W decyzji spotkaliśmy się z dwoma wierszami. Pierwsza – suma liczb odwrotna do potęg dwóch – zbiega się w 1. Druga była serią harmonicznych. O nim prawdopodobnie słyszeli wszyscy, którzy przeszli w liceum wyższej matematyki lub na początku analizy matematycznej. Rozbieżność szeregów harmonicznych jest łatwa do udowodnienia. Jak już widzieliśmy, seria bardzo się rozbiega: aby suma była większa niż 100, trzeba wziąć bardzo dużą liczbę terminów. Wynika to z faktu, że serie harmoniczne zajmują "graniczne" miejsce w konwergencji.Jeśli zbudujesz liczby w mianowniku ułamków w serii do dowolnej mocy większej niż 1, wtedy taka seria już się zbiegnie. Na przykład wiersz zbiega się z pewną (dużą) liczbą. Rząd zbiega się w liczbę . Więcej o tym wszystkim lepiej przeczytać przynajmniej w Wikipedii.

Kolejne niezwykłe zadanie oparte jest na rozbieżności szeregu harmonicznych, można zapoznać się szczegółowo z piękną ekspozycją dostępną na stronie "Etiudy matematyczne". Okazuje się, że jeśli masz wystarczającą (bardzo dużą!) Dostawę cegieł, możesz zbudować drabinę o dowolnej długości, w której każdy krok to dokładnie jedna cegła.

Ciekawa historia wiąże się z podobnym zadaniem dotyczącym gumki. Zostało zaczerpnięte z notatki akademickiego L. B. Okuna w trzech odcinkach, poświęconej jego spotkaniom z A. D. Sacharowem (opublikowanym w czasopiśmie Priroda, nr 8, 1990). Oto fragment:

"21 lipca 1976 r. Restauracja Aragvi w Tbilisi, gdzie odbywa się uroczysta kolacja uczestników Międzynarodowej Konferencji na temat fizyki wysokich energii (XVIII z cyklu tzw. Konferencji Rochester), wiele długich stołów, byłem blisko jednego z nich w pobliżu Andrieja Dmitriewicza. rozmowa zmieniła kierunek stochastycznie.W pewnym momencie mówienie o zadaniach dla pomysłowości. A potem zasugerowałem Andrei Dmitrievichowi problem błędu na idealnej gumie. Jego istota jest następująca.

Gumowy sznur o długości 1 km jest przymocowany na jednym końcu do ściany, a drugi do ręki. Błąd zaczyna się czołgać wzdłuż kabla od ściany z prędkością 1 cm / s. Kiedy czołgając się po pierwszym centymetrze, wydłużasz gumę o 1 km, gdy czołgnie się drugi centymetr – kolejny 1 km i tak dalej. Pytanie brzmi: czy błąd będzie się do ciebie indeksował, a jeśli będzie się czołgał, jak długo?

Zarówno przed, jak i po dzisiejszym wieczorze oddałem to zadanie różnym ludziom. Aby rozwiązać problem, potrzeba było około godziny, inni pozostali mocno przekonani, że błąd nie będzie pełzał, a pytanie o czas zostało poproszone o umieszczenie go na niewłaściwym torze.

Andrei Dmitrievicz powtórzył stan problemu i poprosił o kartkę. Dałem mu moją kartę z zaproszeniem na bankiet i natychmiast napisał rozwiązanie problemu z tyłu bez żadnych komentarzy. Zajęło to około minuty ".


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: