Trzy w jednym • Evgeny Epifanov • Popularne zadania naukowe w "Elementach" • Matematyka

Trzy w jednym

Zadanie

Na ile sposobów czy możesz wyciąć kwadrat na trzy prostokąty, z których każdy jest podobny do dwóch pozostałych? Przypomnijmy, że dwa prostokąty są podobne, jeśli boki pierwszego odnoszą się do siebie w taki sam sposób, jak boki drugiego. Sposoby, które różnią się tylko obrotem lub odbiciem kwadratu, są liczone jako jeden.


Podpowiedź

Trzy prostokąty to niewiele, więc możesz sortować przypadki ich położenia na placu i sprawdzić, czy prostokąty mogą być podobne w każdym przypadku.


Rozwiązanie

Jeśli nieznacznie narysujesz podziały kwadratu na trzy prostokąty, aby zrozumieć, w jaki sposób można je w ogóle umieścić, można szybko dojść do wniosku, że istnieją tylko dwa różne przypadki (do zwojów kwadratu). Rzeczywiście, trzy, dwa lub jeden prostokąt mogą przylegać do górnej strony kwadratu. Jeśli są trzy z nich, konfiguracja pokazana na rys. 1 w lewo. Jeśli dwa, to – konfiguracja pokazana na tym rysunku po prawej stronie. Jeśli tylko jeden prostokąt sąsiaduje z górną stroną, pozostałe dwa znajdują się pod nim, a ich wspólna strona jest albo pozioma (i wtedy jest taka sama jak pierwsza konfiguracja), albo pionowa (wtedy jest taka sama jak druga konfiguracja).

Ryc. 1.

Od razu widać, że pierwsza konfiguracja jest taka, że ​​wszystkie trzy prostokąty są sobie równe: pod warunkiem, że muszą być podobne, ale z aranżacji okazuje się, że są one równeokołodobre strony.

Rozumiemy drugą konfigurację. Rozważymy orientacja prostokąt jest kierunkiem dłuższego boku (jasne jest, że mamy tylko wydłużone prostokąty, które mają jedną stronę dłuższą niż druga). W jaki sposób można ustawić dwa górne prostokąty?

Nie mogą być zarówno pionowe (jak na Rys. 1), ponieważ wtedy będą równe (bokołoduże boki są takie same), a zatem stosunek większego boku do mniejszego jest mniejszy niż 2 (ponieważ mniejszy bok jest równy połowie boku kwadratu, a większy nie jest większy niż cały bok kwadratu). A w dolnym prostokącie stosunek ten będzie większy niż 2. Dlatego nie może być podobny do górnego.

Mogą być zarówno poziome (rys. 2, po lewej). Następnie dwa górne prostokąty znów są równe i łatwo jest obliczyć, że aby wszystkie trzy prostokąty były podobne, boki każdego z nich traktują się nawzajem jak 3: 2.

Ryc. 2

Czy może być tak, że jeden z górnych prostokątów jest poziomy, a drugi pionowy? Sprawdź to. Ta sytuacja została przedstawiona na rysunku 2 po prawej stronie.Wprowadzamy notację jako tę cyfrę. Biorąc pod uwagę podobieństwo prostokątów, znajdujemy:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Ponieważ boki kwadratu są równe, otrzymujemy równości:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Prawa równość pozwala ci wyrażać y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

po czym równanie uzyskuje się z lewego równania

\ [\ Dfrac {1 + x} % + \ dfrac % % + x = 1 + x. \]

Może być przepisany jako

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \]

Ten równania trzeciego jeden prawdziwy korzeń \ (\ rho \ approx1 {} 3247 \ ldots \), tak, że taki przypadek wystąpi. Istnieją więc trzy sposoby przecięcia kwadratu na podobne prostokąty.


Posłowie

Jak dla równań sześciennych znanych formuł dla dokładnych rozwiązań, można mieć pewność, że korzeń i ma jeden. W rodnikach, liczba ta jest zapisana jako:

\ [\ Rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] 108-12 {\ sqrt %}}, %. \]

Może on również być sporządzona w postaci ciągłego sekwencji zagnieżdżonej rodniki:

\ [\ Rho = \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {1 + \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \]

Co ciekawe, liczba ta ma swój własny "name": holenderski architekt (i niepełnym wymiarze mnich) Hans van der Laan (Hans van der Laan) nazwał go numer plastikowy (numer plastikowy). Van der Laan nie stworzyć wiele budynków, w głównym był to kościół, ale jego prace teoretyczne mają pewną wagę. W szczególności opracował teorię harmonijnych relacji między elementami budynku,w którym kluczową rolę odgrywa plastikowy numer.

Ryc. 3 Budynki zaprojektowane przez Hansa van der Laana. Po lewej: Klasztor benedyktynów w Tumell, Szwecja. Po prawej: wnętrze opactwa w Maastricht, Holandia. Zdjęcia z witryny divisare.com

Takie imię w jego pomyśle odzwierciedlało fakt, że tej liczbie można nadać geometryczny "kształt". Spotkaliśmy jeden przykład takiej formy w problemie. Inny przykład powstaje w następujący sposób. Załóżmy, że istnieje nieograniczony zapas pudełek (prostokątnych równoległościanów) o różnych rozmiarach o całej długości boków. Zacznijmy od pudełka 1 × 1 × 1, dołącz kolejne takie pudełko z boku pudełka – otrzymamy pudełko 2 × 1 × 1. Przywiązujemy do niego przed tym samym, aby uzyskać pudełko 2 × 2 × 1. Umieść pudełko 2 × 2 × 2 na dole, aby utworzyć pudełko 2 × 2 × 3. Następnie musisz kontynuować w ten sposób: umieść nowe pudełka naprzemiennie z boku, z przodu, z dołu i wybierz ich rozmiar, aby dwa wymiary (są to wymiary twarzy, do której jest dołączone kolejne pudełko) pokrywają się z wymiarami bieżącego pudełka, a trzeci wymiar to to, co zmienił pomiar dwa "ruchy" przed. Pierwsze kroki pokazano na rysunku 4.Na przykład piąty "ruch" po prawej stronie to pole 2 × 2 × 3, a jego "długość" (pomiar wzdłuż strzałek na tej figurze) wynosi 2, ponieważ dwa ruchy, zanim pole okazało się być "szerokością" równą 2 (to jest właściwe okno w górnym rzędzie).

Ryc. 4 Budowanie "plastikowego" pudełka. Rysunek z artykułu V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago W kierunku numeru plastikowego van der Laana na płaszczyźnie

Jeśli będziesz kontynuować ten proces, rozmiar skrzynek będzie naturalnie wzrastał. Ale relacje ich boków ("sąsiednie" długości, jak pokazano na ryc. 4) będą miały tendencję do ograniczania, czyli liczby plastycznej.

Idea uzasadnienia jest następująca. Zauważ, że rozmiary pudełek są potrójnymi sąsiednimi liczbami z sekwencji 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … Jeśli oznaczymy nczłonek tej sekwencji Pnnastępnie w n > 3 ma równość Pn = Pn−2 + Pn−3. Dokładniej, ten liniowy związek rekurencyjny definiuje tę sekwencję, która nazywa się sekwencją Padovana. Okazuje się, że można wyrazić wspólny termin powtarzającej się sekwencji poprzez korzenie jej charakterystycznego wielomianu. W przypadku tych linków można dowiedzieć się więcej na ten temat, teraz ważne jest tylko, aby dla tej sekwencji charakterystyczny wielomian był następujący: \ (x ^ 3-x-1 \), a jego prawdziwym katalogiem głównym, jak wiemy, jest liczba plastyczna ρ. Dlatego, przy okazji, kolejność uprawnień tej liczby wynosi 1, ρ, ρ2, ρ3, … spełnia tę samą relację nawrotu (ta obserwacja prowadzi do metody wyrażania terminu sekwencji poprzez korzenie wielomianu). Ten wielomian ma dwa złożone korzenie. Jeśli są oznaczone przez q i s, a następnie z pewnymi stałymi a, b, c równość Pn = n + bqn + csn będzie prawdziwa ze wszystkimi naturalnymi n. Ale od złożonych korzeni q i s modulo mniejszy niż 1, ich stopnie mają tendencję do zera wraz ze wzrostem n.

W tym sensie plastykowa liczba dla sekwencji Padovana jest taka sama jak druga (i dużo bardziej znana) "architektoniczna" liczba – złota sekcja – dla sekwencji Fibonacciego (i srebrna sekcja dla liczb Pell).

Więcej o właściwościach liczb plastikowych można znaleźć w artykule V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: