Trójkąt cegieł • Konstantin Knoop • Popularne zadania naukowe w "Elementach" • Matematyka

Trójkąt cegieł

Zadanie

Na budowie leżał stos cegieł czerwonych, żółtych i szarych. wypełniacze nadzorca polecenie by pracownicy rozłożyć trójkątne ściany według następującego wzoru: W dolnym rzędzie pobrana z hałdy 10 dowolnymi cegły, następnie sąsiednich cegieł jednego koloru położyć cegły w tym samym kolorze, a barwny – cegła pozostałe barwy (przykład piramidy pokazano na fig ).

W rezultacie w górnym rzędzie pojawia się tylko jedna cegła. Brygadier-matematyk, patrząc na cegły w dolnym rzędzie, zawsze szybko i dokładnie domyśla się, jaki będzie kolor górnej cegły. Jako on to robi?


Wskazówka 1

Znając dolny rząd, możesz narysować obrazek wszystkich rzędów tego muru (i uczynić go szybszym, niż budowniczowie mają czas, aby go umieścić). Oznaczmy tę metodę jako nietypową dla matematyki (i nie dość szybko).


Wskazówka 2

Oczywiste jest, że określone kolory nie są ważne. Zamiast kolorów możesz używać liczb, na przykład 0, 1 i 2. Jak będą zapisywane "reguły dodawania" nowej cegły? Oczywiste jest, że para identycznych liczb powinna odpowiadać tej samej: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Parametr różnych liczb odpowiada trzeciemu: (0, 1) → 2 i tak dalej.Wszystkie te zależności można zapisać w jednym tablecie:

012
0021
1210
2102

Czy można ustawić wartości podane w tej tabeli, a nie w tabeli, ale w jakiś sposób inaczej? Możesz spróbować. Na przykład jednostki w tabeli odpowiadają parom (0, 2), (1, 1) i (2, 0) – tym z sumą liczb równą 2. I dwiema? Odpowiadają one parom (0, 1), (1, 0) i (2, 2) – tym, dla których suma wynosi 1 lub 4. Wreszcie, zera odpowiadają parom (0, 0), (1, 2) i (2, 1) – do tych, których suma jest równa 0 lub 3. Ten "lub" trochę myli: gdyby nie było, na przykład, gdybyśmy stanowczo wiedzieli, że suma 3 odpowiada 0, suma 1 odpowiada 2, a suma 2 odpowiada 1, to po prostu napiszemy formułę korespondencji: liczba3 = 3 − (liczba1 + liczba2). Z tego powodu, reguła będzie nieco trudniejsza: jeśli w rezultacie liczba3 nie będzie tak, jak być powinno, wtedy możesz dodać 3 lub odjąć od niego 3. Ale to nie jest takie ważne. Najważniejsze jest to, że we wszystkich przypadkach określa się kolor kolejnej cegły według sumy kolory tych cegieł, które stoją pod nim. Zastanów się, jak może użyć tego brygadier.


Rozwiązanie

Zamiast wzoru "liczba3 = 3 – (liczba1 + liczba2) ", wyświetlona w Tip 2, użyjemy prostszego:"liczba3 = – (liczba1 + liczba2) ".Mimo wszystko, może być konieczne dodanie 3 lub -3 do wyniku, więc jest w porządku, jeśli nie zrobimy tego dodania / odjęcia potrójnego od razu, ale "odłóż to na później".

Załóżmy, że w dolnym (10.) rzędzie znajdują się klocki odpowiadające 10 liczbom: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Nasza formuła pozwala od razu napisać całą nakładającą się (dziewiątą) serię:

(wiersz 9) – (a + b), -(b + c), -(c + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + h), -(h + i), -(i + j).

Ale wtedy ósmy rząd jest również wypisany: powyżej liczb – (a + b) i – (b + c) musi być zapisany liczbą – (-abbc) = a + 2b + c. Zatem podwójne wady są zredukowane, a ósmy rząd:

(wiersz 8) a + 2b + c, b + 2c + d, c + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + h, g + 2h + i, h + 2i + j.

Rozważamy dalej. Numery siódmego rzędu mają postać – ((a + 2b + c + b + 2c + d) = -(a + 3b + 3c + d). Być może nadszedł czas, aby pamiętać, że zgodziliśmy się odłożyć wszystkie dodatki i zabrać trójki na później, i zrobić to samo z warunkami 3b i 3c, multiple 3. Tak więc możemy założyć, że pierwsza liczba siódmego rzędu jest równa – (a + d). Następnie całą serię można zapisać w ten sam sposób:

(wiersz 7) – (a + d), -(b + e), -(c + f), -(d + g), -(e + h), -(f + i), -(g + j).

Następnie mamy wiersz 6, w którym podwójny minus jest ponownie zredukowany:

(wiersz 6) a + b + d + e, b + c + e + f, c + d + f + g, d + e + g + h, e + f + h + i, f + g + i + j.

W ciągu 5 minut pojawia się ponownie (wykonaj pierwszy członek, a następnie wszystko jest takie samo):

(wiersz 5) – (a + 2b + c + d + 2e + f), -(b + 2c + d + e + 2f + g), -(c + 2d + e + f + 2g + h), -(d + 2e + f + g + 2h + i), -(e + 2f + g + h + 2i + j).

W rzędzie 4 zmniejszają się zarówno minusy, jak i garść terminów, dla których współczynnik 3 okazał się: zamiast a + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g po prostu odejdziemy a + 2d + g:

(wiersz 4) a + 2d + g, b + 2e + h, c + 2f + i, d + 2g + j.

Cegły, a wraz z nimi obliczenia stają się coraz mniej:

(wiersz 3) – (a + b + 2d + 2e + g + h), -(b + c + 2e + 2f + h + i), -(c + d + 2f + 2g + i + j);

(wiersz 2) a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i, b + 2c + d + 2e + 4f + 2g + h + 2i + j.

I wreszcie cegła w górnym rzędzie:

(wiersz 1) – (a + 3b + 3c + 3d + 6e + 6f + 3g + 3h + 3i + j) = -(a + j).

Co oznacza ten wynik? Że kolor górnej cegły jest określony przez sumę tylko dwóch kolorów z dolnego rzędu – mianowicie kolorów dwóch ekstremalnych cegieł. Co więcej, określa ją ta sama zasada, zgodnie z którą budowniczowie kładą kolejne cegły: te same dwa kolory odpowiadają, a pozostałe dwa odpowiadają pozostałym. Oczywiście, brygadier-matematyk wykonał wszystkie te obliczenia i uproszczenia (aż do ostatecznego wyniku) z góry, tak że w momencie budowania trójkąta ceglanego od razu spojrzał tylko na skrajne cegły dolnego rzędu.


Posłowie

W szczególności starałem się zarządzać rozwiązaniem najbardziej prymitywnej algebry w celu zachowania poczucia "fokusu" w czytniku. Jednak teraz czas zrozumieć głębiej tę istotę.

Po pierwsze, w pewnym sensie można zapomnieć o wadach: jak widzieliśmy,linie z minusami i bez nich są na przemian, abyśmy mogli zrozumieć od samego początku, że w górnej linii pojawi się minus.

Po drugie, skrót używanych przez nas trójek (po raz pierwszy zrobiliśmy to w ósmej linijce), choć zmniejsza obliczenia, to przesłania istotę. Gdybyśmy tego nie zrobili, zobaczylibyśmy wyraz formy w siódmej linii a + 4b + 6c + 4d + ew następnym – a + 5b + 10c + 10d + 5e + fi tak dalej. Litery w tych kwotach są alfabetycznie, ale jakie są ciągi liczb 1, 4, 6, 4, 1, a następnie 1, 5, 10, 10, 5, 1, a następnie 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? W tych sekwencjach rozpoznaje każdy, kto ma większą lub mniejszą wiedzę w zakresie matematyki Trójkąt Pascala:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

W tym trójkącie każda liczba jest równa sumie dwóch liczb stojących o jedną linię wyżej: bezpośrednio nad nią i obok niej (po lewej). W rzeczywistości pojawienie się tu trójkąta Pascala nie powinno nas zaskoczyć; na przykład liczba 15 jest współczynnikiem dla c pod względem a + 6b + 15c + 20d + … jest sumą dwóch współczynników na z: jeden pochodzi z wyrażenia a + 5b + 10c + 10d + 5e + fa drugi z wypowiedzi b + 5c + 10d + 10e + 5f + g. Innymi słowy, jest to suma trzeciego (10) i drugiego (5) współczynnika z poprzedniej linii.

W ten sposób możemy dostać się do linii, której potrzebujemy. Współczynniki w nim – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.A ponieważ wszystkie współczynniki, z wyjątkiem dwóch skrajnych jednostek, są podzielone przez 3, daje to pożądany rezultat "skupienia".

Teraz możesz spróbować zrobić kolejny naturalny krok i zadać pytanie: dla których wartości długości dolnego rzędu cegieł (N) Czy ta sama sztuczka zadziała? Dowiedzieliśmy się, co jest dobre N = 10. Kolejny odpowiedni N = 4 (już widzieliśmy, że linia 1 3 3 1 jest równoważna sumie dwóch ekstremalnych terminów). A jakie są wartości? Matematyczny odpowiednik tego pytania brzmi: w jakich warunkach N wszystkie współczynniki (N – 1) – linia trójkąta Pascala, z wyjątkiem ostatniej, wielokrotności 3? To pytanie jest znacznie trudniejsze niż nasz pierwotny problem, ale odpowiedź na to pytanie można uzyskać za pomocą dość elementarnych metod matematycznych: N – 1 musi być potęgą trzech. Innymi słowy, poniższe są odpowiednie do ogniskowania. N równa się 28, następnie 82, 244, 730 itd. Więcej na ten temat, a także na temat uogólnień problemu na różne liczby kolorów można przeczytać w języku angielskim w artykule Erharda Berendsa i Steve'a Humble'a "Triangle Mysteries" PDF, 552 Kb), opublikowane w drugim numerze czasopisma Matematyczny Intelligencer na rok 2013 (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: