Teoria grup jest nauką o doskonałości. Aksjomaty grup

Teoria grupy – Nauka o doskonałości

Evgeny Vdovin

  • Wprowadzenie
  • Kilka początkowych definicji i notacji
  • Aksjomaty grup
  • Przykłady grup
  • Wniosek

Aksjomaty grup

W tej sekcji kończy się tekst, który się nie zaczyna . Następne dwa akapity są ostatnimi akapitami, dla których czytanie nie jest wymagane, aby podjąć szczególne wysiłki.

Weźmy pod uwagę to samo kino hrabstwa N i przypuśćmy, że podczas jednej z sesji był to widok widowni, aby zorganizować wymianę biletów zgodnie z jakąś zasadą. Na przykład pierwsze miejsce każdego wiersza zmienia się z drugim, trzecim z czwartym itd. W rezultacie wszyscy pozostają po jednej stronie "ze swoją" – każdy ma bilet, az drugiej strony – wszyscy zdołali zmienić swoje miejsce. Jeśli teraz wymieniamy się według jakiejś innej reguły, to trzecia, wtedy wynik – każdy ma dokładnie jeden bilet – nie zmieni się. W takim przypadku kolejność lądowania może się znacznie zmienić w porównaniu z początkiem. Tak więc takie przekształcenia są symetriami wielu miejsc (a dokładniej wielu widzów) i niezależnie od tego, ile razy je wykonamy, główna cecha, że ​​każdy widz ma dokładnie jeden bilet, nie zmieni się.Jeśli sekwencyjna realizacja wymiany biletów nazywa się "mnożeniem" (chociaż jest bardzo daleko od rzeczywistego mnożenia, do którego wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni), to zbiór wszystkich wymian z takim "mnożeniem" tworzy bardzo ważną strukturę algebraiczną – grupę. Ogólnie rzecz biorąc, każda grupa jest zbiorem symetrii obiektu (zestawu), na którym podane jest mnożenie, a także została właśnie wykonana z wymianą biletów – sekwencyjną realizacją.

Tak więc, grupa symetrii obiektu jest większa, im więcej symetrii ma. Przypominając, że im więcej symetrii, tym doskonalszy obiekt, otrzymujemy, że rozmiar grupy symetrii odgrywa rolę miary doskonałości danego obiektu. Rozważ regularne kształty na płaszczyźnie: trójkąt, kwadrat, sześciokąt i okrąg. Wszystkie są symetryczne, ale na różne sposoby są symetryczne. Tak więc trójkąt ma tylko sześć symetrii: obrót wokół środka masy (punkt przecięcia środkowej części) pod kątem, który jest wielokrotnością 120 stopni (takie skręty 3) i odbicie w stosunku do dowolnej z jego median (są również 3 takie odbicia). Kwadrat ma już osiem symetrii: obrót wokół środka (punkt przecięcia przekątnych) pod kątem, który jest wielokrotnością 90 stopni (są już 4 takie obroty)a także symetrię względem dowolnej przekątnej (są ich dwie) i dowolną linię prostą łączącą punkty środkowe przeciwległych boków kwadratu (są też dwa z nich). Sześciokąt ma już 12 symetrii (oferujemy czytnik, aby je wszystkie wymienić), a krąg symetrii ma nieskończoną liczbę – jest to zakręt pod dowolnym kątem i symetria względem dowolnej prostej przechodzącej przez środek koła. Tak więc najdoskonalszą postacią jest okrąg, potem sześciokąt, za nim kwadrat, a najmniej idealną figurą jest trójkąt.

do końca

Pozwól G – arbitralny zbiór i zakładają, że podano mu operację binarną (podwójną, z dwóch argumentów) "·", zwykle nazywaną przez mnożeniektóry dla dowolnych dwóch elementów a, b tego zestawu w jednoznaczny sposób łączy się z nim element oznaczony przez a · b lub po prostu ab. Z tym elementem ab zadzwonił produkt przedmioty a i b. Jeśli dodatkowo spełnione są następujące trzy warunki (tzw aksjomaty grupowe):

(ГР1)
dla dowolnych trzech a, b, c z G prawdziwa równość (ab)c = a(bc) (prawo asocjatywności);

(GR2)
jest taki element edla dowolnego przedmiotu a z G prawdziwa równość ae = ea = a (istnienie jednostki); taki element e zadzwonił o jeden grupy;

(ГР3)
dla dowolnego przedmiotu a z G jest taki element bto jest prawdziwa równość ab = ba = e (istnienie rewersu); taki element b zadzwonił odwrotna dla a i jest oznaczony przez a-1;

to dużo G w stosunku do form operacji mnożenia grupa. Jeśli jednocześnie spełniony jest jeszcze jeden aksjomat:

(ГР4)
dla wszelkich przedmiotów a, b z G prawdziwa równość ab = ba (prawo komutacyjne),

wtedy grupa jest wywoływana przemienny lub abelian. Przykłady różnych grup, a także sytuacje naturalne, w których pojawiają się grupy, przytoczymy poniżej. Oczywistymi przykładami są zbiór liczb całkowitych przez dodanie, zbiór niezerowych liczb wymiernych przez mnożenie itd. Odnotowujemy kilka prostych konsekwencji aksjomatów grupowych: element jednostkowy i element odwrotny są jednoznacznie określone. Rzeczywiście, przypuśćmy, że istnieją dwa elementy jednostki e1, e2, wtedy zastosowanie aksjomatu (GR2) daje nam następujący łańcuch równości e1 = e1e2 = e2. Podobnie, jeśli dla jakiegoś elementu a są dwa odwrotne b1, b2, używając aksjomatów (GR1) – (GR3), otrzymujemy następujący łańcuch równości b1 = b1e = b1(ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2.

Jeśli M – arbitralny podzbiór grupy Gwtedy możemy rozważyć operację mnożenia na zbiorze M, który jest mapowaniem ·: M × MG. Operacja na planie M zadzwonimy indukowane operacja. Podzbiór H grupy G zadzwonił podgrupajeśli sama jest grupą w odniesieniu do wywołanej operacji. Łatwo jest sprawdzić, czy podzbiór jest podgrupą, jeśli jest zamknięty w odniesieniu do produktu (tj. Dla dowolnych dwóch h1, h2 H element h1 · h2 znów się znajduje H) i jest zamknięty w odniesieniu do przyjmowania rewersu (to jest do dowolnego h H element h-1 znów się znajduje H). Krótko mówiąc jest napisane jako HH H i H-1 H. Dalsze oświadczenie "H jest podgrupą grupy G"Napiszemy krótko w następujący sposób HG.

Pozwól G jest dowolną grupą H – jego podgrupa i g – arbitralny element grupy G. Dużo Hg = {hg | h Hzadzwonił sąsiednia klasa (element sąsiedniej klasy) g. Wprowadzamy relację g1g2 (mod H) na zestawie elementów grupy G zgodnie z zasadą: g1g2 (mod H) w tym i tylko wtedy, gdy Hg1 = Hg2. Użycie notacji podobnej do proporcji dzielącej dla liczb całkowitych (patrz wyżej) nie jest przypadkowe, ponieważ relacja podzielności jest szczególnym przypadkiem równości sąsiednich klas. Rzeczywiście, jako grupa G zestaw jest zajęty liczby całkowite przez dodanie i jako podgrupa H podzbiór jest pobierany k liczby, które są podzielne przez k. Oczywiste jest, że zdefiniowana przez nas relacja jest równoważnością, zbiór klas równoważności oznaczony jest przez G / Hmoc |G / H| zestaw klas równoważności jest również oznaczony jako |G : H| i jest nazywany według indeksu podgrupy H w grupie G. Oczywiście dla każdego g G sprawiedliwe |Hg| = |Hgdzie natychmiast stajemy się ważni Twierdzenie Lagrange'a: |G| = |G : H| · |H|, w szczególności kolejność podgrup zawsze dzieli porządek grupy.

Na planie G / H Możesz w naturalny sposób zdefiniować operację mnożenia: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Aby definicja była poprawna, tj. Równość zbiorów Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} i Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, jest to konieczne i wystarczające dla każdego g G równość została spełniona g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (ten warunek zanotujemy HG H). Wyrażenie g-1Hg zadzwonił koniugacja używając elementu g i często oznaczane Hg. Wyrażenie gHg-1 = Hg-1 będziemy nagrywać gH. Podgrupa Hspełniające warunek HG Hzadzwonił normalny podgrupa grupy G (oznaczone przez H G) i wynikowa grupa G / H zadzwonił grupa czynników grupy G według podgrupy H. Koncepcje normalnej podgrupy i grupy czynników należą do najważniejszych grup w teorii, ponieważ pozwalają częściowo zredukować badanie grup do mniejszych grup (częściowo, ponieważ zgodnie z H i G / H grupa G określone dwuznacznie). Zostanie wywołana grupa, która nie zawiera normalnych podgrup proste.

Oczywiście, przecięcie dowolnej liczby podgrup jest ponownie podgrupą. To pozwala nam określić podgrupa generowana przez M, jako najmniejsza podgrupa zawierająca podzbiór Mtj. przecięcie wszystkich podgrup grupy Gzawierające wiele M. Podgrupa generowana przez zestaw Mzostaną oznaczone M. Łatwo to sprawdzić M to zbiór wszystkich rodzajów produktów z elementów M i z powrotem do nich. Grupa generowana przez jeden element a zadzwonił cyklicznyi jej polecenie |a| : = |a| zadzwonił w kolejności element a. Łatwo jest sprawdzić, czy kolejność elementów jest najmniejsza. nza co równa się e. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że ​​kolejność elementu zawsze dzieli porządek grupy.

Na końcu tej części przedstawiamy pojęcie izomorfizmu grup. Jeśli G, H – grupa, a następnie mapowanie φ : GHzachowanie operacji (tj. dla wszystkich g1, g2 G gotowe (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) jest wywoływana homomorfizm, ustaw Ker (φ) = {g G | = ezadzwonił jądro homomorfizmui wielu = { | g Gzadzwonił homomorfizm. Jeśli Ker (φ) = {e}, i = Htj. jeśli φ to bijection, a następnie mapowanie φ zadzwonił izomorfizmi grupy G i H izomorficzny (oznaczony przez G H). Twierdzenie o homomorfizmie stwierdza, że H = Ker (φ) – normalna podgrupa grupy G i G / H. Izomorfizm można uważać za "podobieństwo" dwóch grup, których nie rozróżniamy (choć w rzeczywistości mogą to być różne zbiory). Tak więc teoria, ściśle mówiąc, bada klasy izomorfizmu grup. Zwróć uwagę, że w życiu codziennym często tworzymy także izomorfizmy o mniej lub bardziej wysokim poziomie abstrakcji. Tak więc, na przykład, istnieje klasa mebli izomorficznych, zwana koncepcją "garderoby", a my pewnymi znakami bezbłędnie ustalamy, czy dany przedmiot należy do "szaf", czy nie. Kiedy brakuje nam tak wysokiego poziomu abstrakcji, schodzimy na niższy poziom i zaczynamy dzielić szafy na "kuchnię", "książkę", "szafę" itp.Pojęcie izomorfizmu dla grup jest po prostu narzędziem, za pomocą którego na naszym poziomie abstrakcji rozróżniamy lub identyfikujemy obiekty.


Like this post? Please share to your friends:
Teoria grupy – Nauka o doskonałości ">

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: