Teoria grup jest nauką o doskonałości. Przykłady grup

Teoria grup – nauka o doskonałości

Evgeny Vdovin

  • Wprowadzenie
  • Kilka początkowych definicji i notacji
  • Aksjomaty grup
  • Przykłady grup
  • Wniosek

Przykłady grup

Przykłady grup znanych nam ze szkoły podstawowej to liczby całkowite, liczby racjonalne, rzeczywiste, liczby zespolone przez dodanie, niezerowe liczby wymierne, rzeczywiste, liczby zespolone przez mnożenie. Wszystkie te grupy są abelowe. Innym ważnym przykładem grup jest następująca konstrukcja. Pozwól X – arbitralny zestaw i symX – zestaw wszelkiego rodzaju biografii zestawu X na siebie. Ustaw mnożenie przez SymX jako kompozycja. Następnie symX w odniesieniu do działania kompozycji jest grupą i jest nazywany grupa symetryczna na zbiorze X lub grupa podstawień (czasami używa się także terminu permutation group, ale wydaje się nam to nieskuteczne, więcej na ten temat poniżej). Jeśli wielu X oczywiście i |X| = nwtedy możemy to założyć X = {1, … , n} i symX oznaczane przez symn. Jeśli Ψ jest właściwością odwzorowań zachowanych w kompozycji, to podzbiór mapowań spełniających właściwość Ψ grupy SymX tworzy podgrupę grupy symX. Pokazujemy, że skład mapowań spełnia aksjomat asocjacyjny (ГР1) (sprawdzenie pozostałych aksjomatów jest znacznie prostsze, wynikają one z definicji bijingu).Aby udowodnić, że skład map jest asocjacyjny, należy najpierw zrozumieć, kiedy mapy są równe. Pomimo oczywistej definicji często powoduje trudności. Mapowania φ : AB i ψ : AB (gdzie A, B – dowolne zestawy) są równe, jeśli dla każdego x A jego obrazy i są równe. Teraz pozwól φ, ψ, χ SymX i x X. Następnie x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χz drugiej strony x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χto dowodzi asocjatywności kompozycji.

Ten przykład pozwala nie tylko zbudować dużą liczbę różnych grup (zobaczymy, że wszystkie grupy poniżej), ale także pokazuje szeroki zakres zastosowania teorii grup. Wszędzie tam, gdzie istnieje choćby pewna symetria (to jest bicie), grupy natychmiast powstają. Problemy konstrukcji za pomocą kompasu i linijki, rozwiązywanie równań algebraicznych w rodnikach, równania różniczkowe w prymitywach itp. Są naturalnie zredukowane do problemów w teorii grup. Różne problemy kombinatoryczne są zredukowane do zliczania obiektów spełniających pewne właściwości i ponownie do teorii grup.

Jeśli G – grupa X – ustawić i nadać homomorfizm φ : G → SymXnastępnie wypowiedz grupę G działa na zestaw X. Jeśli Ker (φ) = {e}, akcja jest wywoływana dokładne. Aby "ułatwić" notację, zidentyfikujemy g z jego wizerunkiem i dla arbitralnych x X jego wizerunek jest względny nagrywać xg. Wprowadzamy relację równoważności ~ X zgodnie z zasadą: elementy x, y X są równoważne, jeśli takie istnieją g Gto xg = y. Klasy równoważności są wywoływane orbity grupy G. Mówi się, że grupa G działa tranzytowo (i prezentacja jest przechodni) jeśli jest tylko jedna orbita. Homomorfizm φ : G → SymX zadzwonił reprezentacja wieloznaczna grupy G (właśnie ze względu na termin "reprezentacja permutacji", określenie "grupa permutacji" jest uważane za nieskuteczne, ponieważ pojęcie "reprezentacja permutacji" ma inne znaczenie). Jeśli Ker (φ) = {e}, prezentacja jest wywoływana dokładne.

Rozważ teraz dowolną grupę. G i jego podgrupa H. Grupa G działa na zestawie sąsiednich klas w podgrupie H przez pomnożenie po prawej: (Hg1)g2 = H(g1g2). Tak więc istnieje reprezentacja przechodnia φ : G → SymG / H. Jeśli H nie zawiera żadnych normalnych podgrup grupy Gwtedy ta prezentacja jest dokładna. W szczególności, jeśli H = {eta prezentacja G → SymG/ % = SymG zawsze dokładne i wywoływane regularne prezentacja grupowa G. Zatem dowolną grupę można uznać za grupę substytucji. Okazuje się, że każda przechodnia reprezentacja grupy G może dostać się w ten sposób.


Aby zrozumieć następujący tekst, znajomość kursu uniwersyteckiego w algebrze

Poniższy przykład grup powstaje w przestrzeniach wektorowych. Pozwól V – przestrzeń wektorowa nad polem F (Nie podam definicji przestrzeni wektorowej i pola, przykładem przestrzeni wektorowej jest płaszczyzna, a przykładem pola jest zbiór liczb wymiernych w odniesieniu do dodawania i mnożenia). Zestaw nieodgadnianych transformacji liniowych przestrzeni wektorowej V tworzy grupę i jest wywoływana ogólna grupa liniowa (oznaczone przez GL (V)). Łatwo jest sprawdzić, które przestrzenie wektorowe mają ten sam wymiar n na tym samym polu jest izomorficzne z przestrzenią łańcuchów o długości n, a zbiór nie-zdegenerowanych przekształceń liniowych zbiega się z zestawem nie-zdegenerowanych macierzy. W tym przypadku ogólna grupa liniowa jest zapisana jako GLn(F).W rzeczywistości ten przykład nie jest, ściśle mówiąc, nowy, ponieważ GL (V) ≤ SymV. Jednak znaczenie tej grupy grup ze względu na jej wybór w osobnym przykładzie. Homomorfizm φ : G → GLn(F) jest wywoływana reprezentacja liniowa grupy G na polu F stopnie ni przestrzeń V zadzwonił Moduł G. Grupa symetrii kuli, wspomniana we wstępie, pokrywa się z grupą wszystkich liniowych transformacji trójwymiarowej przestrzeni, które zachowują długość wektorów, zwaną wspólna ortogonalna grupa.


Trzeci przykład grup powstaje w następujący sposób. Pozwól X = {x1, x2, …} to jakiś alfabet (skończony lub nieskończony). Wypełnijmy go formalnymi symbolami. X-1 = {x1-1, x2-1, …} i rozważ zestaw słów w alfabecie X X-1. Wprowadzamy transformacje:

(1)
usunięcie znaków xixi-1 lub xi-1xi;

(2)
dodaj do dowolnego miejsca słowa podrzędne xixi-1 lub xi-1xi.

Dwa słowa u, v nazywamy to odpowiednikiem, jeśli istnieje łańcuch przekształceń typu (1) lub (2), które tłumaczą jedno słowo na drugie. Na zbiorze klas równoważności definiujemy operację mnożenia przez przypisanie jednego słowa do końca drugiego. Następnie otrzymujemy grupę o nazwie wolna grupa i oznaczony przez F[X], a elementy tej grupy są wywoływane w słowach. Uniwersalność tej konstrukcji sprawia, że ​​wolne grupy są niezbędne do nauki języków formalnych (na przykład języków programowania), a także różne inne zadania z teorii kodowania, rozpoznawania itp. Termin "wolny" wynika z faktu, że jeśli mamy dowolną grupę G i jest taki podzbiór Mto M = Gwtedy możemy wziąć pod uwagę wiele słów X z warunkiem |X| = |M| a następnie istnieje homomorfizm φ : F[X] → G. Jądro homomorfizmu Ker (φ) generowane przez jakiś zestaw słów R i nagrywanie grupowe G w postaci G = < X|R > zadzwonił zadanie grupy definiującej i generującej relacje. Być może jest to najbardziej abstrakcyjny sposób przypisania grupy, a zatem najtrudniejszy. Nie podamy tutaj przykładów grup zdefiniowanych w ten sposób.


Like this post? Please share to your friends:
Teoria grup – nauka o doskonałości ">

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: