Sprawdź zegary • Hayoby Hakobyan • Popularne zadania naukowe na temat "Elementów" • Fizyka

Sprawdź swój zegarek

Co dzieje się ze starym modelem fizycznym, gdy pojawia się nowy, bardziej ogólny model, który opisuje świat znacznie precyzyjniej? Aby pytanie to nie wydawało się zbyt abstrakcyjne, zastanówmy się nad konkretnym przykładem: co stało się z teorią grawitacji Newtona, gdy pojawiła się ogólna teoria względności Einsteina?

Na przykład, prawo świata opisywało ruch ciał niebieskich w zadziwiający sposób, dopóki nie pojawiły się dane o anomalnej precesji orbity Merkurego. A ponieważ, oczywiście, świat funkcjonuje (w szczególności, planety krążą wokół Słońca) bez względu na to, jakie prawa ludzie próbują opisać, okazuje się, że prawa i teorie mają ograniczenia stosowalności: w niektórych przypadkach stara teoria nadal działa, w niektórych przypadkach konieczne jest już zastosowanie obliczeń w ramach nowej teorii. Jak odróżnić niektóre przypadki od innych? Czasami okazuje się, że możesz wprowadzić parametr, który wskazuje na stosowalność konkretnej teorii. A w przypadku grawitacji jest to całkiem proste.

Jeśli jesteś na odległość R od jakiegoś ciała z masą M, więc efekty GR można pominąć jako całość, jeśli parametr ε = rg/R będzie "znacznie mniej" 1 (ε alarm1), gdzie rg = 2GM/c2 – promień grawitacyjny. Takie "małe parametry" w fizyce są bardzo często spotykane – czasem fizyka nazywana jest nawet "nauką o małych parametrach".

Znaczenie rg pokazuje charakterystyczną odległość, którą trzeba zbliżyć się do obiektu masy punktowej Maby efekty ogólnej teorii względności stały się znaczące. Chociaż, jak zobaczymy w epilogu, faktycznie nie można podejść dokładnie z takiej odległości.

Na przykład na powierzchni Ziemi ten parametr można łatwo oszacować, zastępując go zamiast M zamiast tego masa ziemi R – jego promień. Promień grawitacyjny Ziemi wynosi tylko 8,9 mm, a nasz mały parametr ε dla człowieka na powierzchni Ziemi wynosi około 1,5 × 10−9, która, oczywiście, jest znacznie mniejsza niż 1. Oznacza to, że z dobrą dokładnością, efekty ogólnej teorii względności można pominąć w obliczeniach, w których nie jest wymagana większa dokładność.

Z drugiej strony, na powierzchni, powiedzmy, gwiazdy neutronowej o masie 1,5 masy Słońca i promieniu 10 km, parametr ε wynosi 0,4 (sprawdź to), to znaczy, że efekty GTR będą miały znaczący wkład.

Okazuje się jednak, że ten parametr może nie tylko wskazywać na znaczenie lub nieistotność efektów GTR: nadaje się również do oceny w zakresie wielkości wartość liczbowa tych efektów. Na przykład, dokładnie wiadomo, że w ramach ogólnej teorii względności przewiduje się odchylenie światła z powodu grawitacji ciężkiego obiektu. Możesz sprawdzić ten efekt podczas zaćmienia Słońca: wtedy możesz rozróżnić gwiazdy w pobliżu tarczy słonecznej, światło, z którego się zbacza. Ale musisz przynajmniej wiedzieć, jak wiele dokładnych pomiarów kątowych trzeba wykonać, czyli jak duży powinien być efekt ugięcia. Jeśli potrzebna odpowiedź nie jest dokładna, ale przybliżona w zakresie wielkości, można użyć tego samego parametru, aby znaleźć przybliżony kąt odchylenia.

Weź jako masę M masę słońca i odległość R – długość najmniejszej odległości od latającego fotonu do środka Słońca – to znaczy po prostu promień Słońca. Promień grawitacyjny Słońca wynosi 3 km, a mały parametr ε równy jest 4,2 × 10−6. Ten parametr jest tylko rzędu wielkości równej kątowi odchylenia światła (w radianach) – około 0,88 sekundy łuku. W rzeczywistości, jeśli uczciwie policzymy wszystko w ramach GR, wówczas rzeczywista wartość będzie dwa razy większa – 1,75 sekundy łukowej, a wartość ta została potwierdzona przez Eddingtona podczas jego wyprawy na Wyspę Książęca w 1919 roku.

Zdjęcie Słońca podczas całkowitego zaćmienia, wykonane przez Eddingtona podczas wyprawy na wyspę Principe 29 maja 1919 r. Cienkie białe linie poziome oznaczone są gwiazdami, których ugięcie światła zostało uznane przez Eddingtona. Jeśli wydrukujesz to zdjęcie o wielkości arkusza A4, odchylenie pozycji gwiazd ze względu na grawitację Słońca będzie mniejsze niż jedna dziesiąta milimetra. Zdjęcia z en.wikipedia.org

Możemy przeformułować nasze twierdzenie empiryczne: wartość liczbowa efektów ogólnej teorii względności może być oszacowana w rzędzie wielkości za pomocą małego parametru ε. W tym samym czasie odpowiedź nie odbiega zbytnio od wyniku ścisłego (czyli długiego i ponurego) wniosku w ramach GR, i nie zbiega się z rzeczywistą wartością rzędu wielkości (oczywiście, jeśli ε rozpozn1). Tak więc, aby z grubsza oszacować liczbowe efekty GR, nie musisz posiadać dość kłopotliwego aparatu matematycznego ogólnej teorii względności, ale raczej używając małego parametru.

Spójrzmy na inny klasyczny efekt. Wiadomo, że w ramach newtonowskiej grawitacji w przypadku obrotu jednego ciała wokół drugiego, orbity mają ściśle eliptyczny kształt, który nie zmienia się wraz z upływem czasu.Jednak, jak wspomnieliśmy na samym początku, już w XIX wieku, ludzie wiedzieli, że orbita Merkurego była nieco precesyjna, co przyniosło około 570 kątowych sekund na wiek.

System Słońca – Merkury nie jest izolowany: są inne planety. Ale ich wpływ można wytłumaczyć rotacją około 527 sekund kątowych na wiek. Ale skąd wzięły się pozostałe 43 sekundy kątowe, w XIX wieku nigdy nie można było tego wyjaśnić. Wyjaśnienie zostało podane później, w ramach ogólnej teorii względności (i stało się to jednym z ważkich argumentów na poparcie GR). Dlaczego tak się stało dokładnie z Merkurym jest całkiem zrozumiałe: ta planeta jest blisko Słońca i, jak widzieliśmy powyżej, mały parametr ε jest odwrotnie proporcjonalny do odległości Ri mniej R, tym więcej ε.

Oszacujmy w skali wielkości zmianę GTR dla tej sprawy. Jako masę bierzemy ponownie masę Słońca, a jako odległość – pół-wielkiej osi orbity Merkurego. Wtedy mały parametr będzie równy ε = 5,1 × 10−8. Przez jeden okres czasu Merkury "leci" pod kątem 2π radianów, którego poprawka wynosi 2πε. Jest to dokładnie dodatkowy kąt, który orbita obraca się w jednym okresie Merkurego.W wieku (w ziemskich latach) orbita się włącza

\ [\ Delta \ varphi = 2 \ pi \ varepsilon \ cdot \ frac {100 ~ \ text %} {P _ {\ rm Mercury}} = 1.3 \ times10 ^ {- 4} = 27,44 ". \]

W skali wielkości jest to rzeczywiście to samo, co 43. Ale jeśli znowu uczciwie liczyć w ramach GR, otrzymujemy odpowiedź, która zbiega się z danymi obserwacyjnymi.

Zadanie

Wyobraź sobie teraz, że chcesz wysłać satelitę komunikacyjnego na orbitę o wysokości 400 km. Ponieważ wpływ GTR wpływa na to, jak czas płynie w różnych odległościach od Ziemi, nastąpi pewne opóźnienie w orbicie zegara względem powierzchni Ziemi.

Chcesz zrozumieć, jakiego rodzaju opóźnienie dotyczy, przynajmniej w zakresie wielkości, używając "metody małego parametru", która została omówiona powyżej. Przyjmując promień Ziemi na 6378 km, stawka różnica między początkowo zsynchronizowanym zegarem na satelicie lecącym na wysokości 400 km i na stacji naziemnej. Wyraź odpowiedź w ciągu kilku sekund na wiek.


Wskazówka 1

Wpływ Ziemi na stację i satelitę. Jednakże parametr ε będzie różny dla tych dwóch przypadków, ponieważ odległości do środka Ziemi są różne.


Wskazówka 2

Możesz obliczyć opóźnienie zegara w obu przypadkach w stosunku do "nieskończenie odległego obserwatora", na który nie wpływa grawitacja Ziemi.Zastanów się, w jaki sposób to opóźnienie jest powiązane z każdą z dwóch wartości parametru ε z poprzedniego monitu.


Rozwiązanie

Oczywiście, dla obserwatora, który jest nieskończenie usunięty z Ziemi, nie ma grawitacyjnego czasu rozszerzenia z powodu jego przyciągania. Dlatego zegar, który jest nieskończenie daleko, weźmiemy za punkt odniesienia.

Jeśli użyjemy oszacowania za pomocą małego parametru, to zegar na powierzchni Ziemi pozostanie w stosunkowo nieskończonej odległości: jedna sekunda na Ziemi odpowiada 1 – rg/RH sekundy w nieskończenie odległym obserwatorze, gdzie rg – promień grawitacyjny Ziemi, oraz RH – fizyczny promień Ziemi, czyli odległość od środka Ziemi, na której znajduje się pierwszy zegar. Podobna wartość dla satelity względem tego samego nieskończenie odległego obserwatora będzie równa 1 – rg/(RH+400).

Tak więc opóźnienie zegarów na Ziemi względem zegarów na orbicie satelitarnej można oszacować jako

\ [\ frac {\ Delta t} % = \ varepsilon '= \ frac {r_g} {R _ {\ text {W}} – \ frac {r_g} {R {{\ text {W}} + 400} . \]

Opóźnienie 100 lat można znaleźć, mnożąc tę ​​liczbę przez t = 100 lat i dla wygody tłumacząc Δt w sekundach. Wyniesie około 0,3 sekundy w ciągu 100 lat, to znaczy w ciągu jednego roku zegar na satelicie będzie trwać około 3 milisekund za zegarem na Ziemi.Jeśli jednak uczciwie liczyć według wszystkich kanonów GR, okaże się około 3 razy więcej – nasza ocena nie jest taka zła.

Pomimo faktu, że jest to bardzo niewielka liczba, zaniedbanie takiej poprawki jest niewybaczalne w przypadku większości satelitów. Na szczęście zegary atomowe mogą dawać znacznie większą dokładność, dzięki czemu można jednoznacznie uwzględnić te efekty podczas projektowania satelitów.


Posłowie

Dno konfiguracji wykrywania fotonów w eksperymencie Roberta Pounda i Glen Rebka (jest na zdjęciu). Pomiędzy emiterem a odbiornikiem została położona rura z folii z tworzywa sztucznego o średnicy 40 cm; wypełniony był helem, aby zapobiec absorbowaniu powietrza przez fotony. Zdjęcie z seas.harvard.edu

Powyższy grawitacyjne czas opóźnienia ugięcie światła w polu grawitacyjnym, precesji orbity planety – nie jest to wyczerpująca lista znanych efektów przewidywanych ogólnym wzgl. Eksperymentalne wykrycie każdego z nich służyło jako wiarygodne wzmocnienie poprawności GR. Co więcej, nie zawsze trzeba "iść" gdzieś w kosmos, aby złapać te efekty. Przykładem jest eksperyment Pounda i Rebki, który potwierdził, że czas naprawdę zwalnia w dziedzinie agresji.

Ale jeśli czas podlega opóźnieniu grawitacji, możemy oczekiwać, że to samo opóźnienie będzie związane z "zegarem wewnętrznym" fotonów, to jest z ich częstotliwością. W ramach GR foton emitowany w pobliżu obiektu grawitacyjnego w kierunku nieskończenie odległego obserwatora podlega grawitacyjnemu przesunięciu ku czerwieni – jego częstotliwość zmniejsza się, a długość fali wzrasta wraz z odległością od obiektu. W rzeczywistości foton traci energię, przezwyciężywszy grawitacyjny wpływ masywnego obiektu. Odwrotnie, foton emitowany w kierunku masywnego ciała będzie podlegał grawitacyjnemu niebieskiemu przesunięciu (wzrostowi częstotliwości).

W swoim eksperymencie Pound i Rebka badali grawitacyjne czerwone przesunięcie fotonów gamma emitowane przez wzbudzony atom żelaza. 57Fe. Dzieje się to w wieży Harvard Jefferson Laboratory, a sama instalacja miała wysokość 22,5 m: na górnym końcu był emiter, a na dole odbiornik o dość złożonej konstrukcji również z atomami izotopów 57Fe, które miały absorbować fotony gamma w procesie odwrotnym, jeśli ich częstotliwość się nie zmieniła.

Aby zwiększyć dokładność eksperymentu, źródło cyklicznie poruszało się w górę i w dół, aby symulować efekt Dopplera,który przy pewnej prędkości źródła zrekompensowałby grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni, powodując rezonansową absorpcję fotonów przez żelazo na dolnym końcu układu.

Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni. Efektu tego nie należy mylić z przesunięciem czerwonym ze względu na efekt Dopplera, gdy galaktyki są usuwane lub gwiazdy się poruszają (patrz problem radialnych prędkości i planet pozasłonecznych). W szczególności w eksperymentach Funta i Rebki grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni zostało specjalnie skompensowane przez efekt Dopplera, z powodu ruchu źródła promieniowania. Zdjęcie z theconversation.com

Może pojawić się pytanie, i dlaczego tak naprawdę bierze się właśnie parametr 2GM/(Rc2)? Na to pytanie można odpowiedzieć dwojako: fenomenologicznie i fizycznie.

1. Wyobraź sobie, że chcesz zbudować teorię grawitacji, która jednocześnie uwzględnia zarówno newtonowską grawitację, jak i szczególną teorię względności. Okazuje się, że w twojej teorii będzie stała G i prędkość światła c. Charakterystyczny "wpływ" twojej teorii na masę przedmiotu M na odległość R zostaną opisane przez niektórych bezwymiarowy parametr. Jedyny sposób na skonstruowanie bezwymiarowej ilości G, M, c i R – wystarczy połączyć je w postaci 2GM/(Rc2), która pokaże poprawkę twojej teorii do już istniejącej. Takie podejście jest czasami nazywane analiza wymiarowa.

Podobnie z specjalna teoria względności. Mały parametr w tej teorii to ε = v/cgdzie v – pewną prędkość, z jaką jedno ciało porusza się względem drugiego. Na przykład efekt spowolnienia czasu na statku kosmicznym poruszającym się z prędkością v w stosunku do obserwatora w spoczynku, rzędu wielkości v/c (znowu, do pewnego współczynnika).

Warto zauważyć, że takie mały parametr w fizyce występuje cały czas. Na przykład wpływ mechaniki kwantowej na rozpraszanie cząstek jest ważny, gdy charakterystyczny dystans między cząsteczkami r o długości fali de Broglie'ego cząstek λdB. Innymi słowy, mechanika kwantowa nie jest bardzo ważna, gdy λdB/r ≪ 1.

2. Aby podać fizyczne wyjaśnienie tego małego parametru, przepiszmy go w następującej formie: ε = 2 (GM/R)/c2 = 2φ/c2gdzie φ = GM/R – to klasyczny potencjał grawitacyjny na odległość R z obiektu o masie M. Im mniejszy potencjał (to znaczy siła pola grawitacyjnego), tym mniejszy parametr ε, a tym samym mniejszy wpływ efektów GRT.

Jeśli masz masę ciała m na odległość R z masywnego przedmiotu masy Mnastępnie porównując potencjalną energię ciała GMm/R i resztę energii mc2, można zrozumieć, jak ważne są efekty GRT. Stosunek tych wielkości jest parametrem ε.

Należy zauważyć, że we wszystkich wspomnianych wyżej przypadkach parametr ε był znacznie mniejszy niż jedność, to znaczy, że można było zmierzyć skutki ogólnej teorii względności, ale były one bardzo słabe. Ten limit ogólnej teorii względności nazywany jest niskie pole.

Do 1974 r. Wszystkie eksperymenty GRT były właśnie w przybliżeniu w polu słabym, co oczywiście jest mocnym argumentem na korzyść GR, ale tylko w pewnym przybliżeniu. W 1974 r. Radio-astronomowie Russell Hals i Joseph Taylor odkryli podwójny układ gwiazd neutronowych (pulsar binarny PSR B1913 + 16) w radioteleskopie Arecibo.

Obie gwiazdy neutronowe krążą po eliptycznych orbitach wokół wspólnego środka masy. Ale astronomowie zauważyli, że orbity stopniowo zwężają się. Okazało się, że jeśli policzymy utratę energii z powodu zwężenia orbity, to będzie dokładnie taka sama, jak gdyby ten system promieniował, jak przewidywano w ramach silne pole przybliżenia GR (z ε ~ 1) są falami grawitacyjnymi.

Zatem binaria Khalsa-Taylora były pierwszym dowodem zarówno istnienia fal grawitacyjnych, jak i ogólnej teorii względności w silnym przybliżeniu pola. W 2016 roku, jak wiadomo, pierwsza w historii bezpośredniej detekcji fal grawitacyjnych (fale grawitacyjne – open!, "Elements", 02.11.2016) zaskakująco zbiega się z przewidywaniami ogólnej teorii względności i zasadniczo utrwala swój status jako jedynej spójnej teorii grawitacji.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: