Dokładne pozycjonowanie • Jewgienij Anikin, Jewgienij Epifanow • Popularne zadania naukowe na temat "Elementów" • Matematyka, fizyka

Precyzyjne pozycjonowanie

Zadanie

Wiele osób zna systemy nawigacji satelitarnej. Najbardziej znane – rosyjski GLONASS i amerykański GPS – są obecnie używane niemal wszędzie w nawigatorach samochodowych i smartfonach. Ogólnie mówiąc, działanie tych systemów jest następujące. Rodzina satelitów jest koordynowana przez naziemne centra kontroli, dzięki czemu każdy satelita "zna" swoją pozycję i synchronizuje czas na nich. Satelity nieustannie przesyłają te dane (współrzędne przestrzenne i czas) na Ziemię, a urządzenia użytkownika pobierają je i próbują obliczyć swoje współrzędne w czasie rzeczywistym.

Opierając się na takim uproszczonym schemacie, powiedz mi ile czy satelity muszą "widzieć" odbiornik użytkownika w tym samym czasie, aby dokładnie (np. z błędem w odległości 20 m) określić swoją pozycję?


Podpowiedź

Zadaniem odbiornika jest obliczenie jego współrzędnych z danych pochodzących z satelitów. Współrzędne są trzema zmiennymi przestrzennymi, dlatego do ich określenia niezbędny jest układ co najmniej trzech równań (czyli dane z co najmniej trzech satelitów). Zastanówcie się, w jaki sposób można uzyskać te równania w ramach naszej uproszczonej sytuacji i z jakiego technicznego powodu te trzy równania w rzeczywistości nie są wystarczające.


Rozwiązanie

Tak więc odbiornik użytkownika, powiedzmy nawigator, odbiera z każdego z satelitów sygnał o trzech współrzędnych przestrzennych satelity i czasie wysłania tego sygnału. Dane te wystarczają do wyrażenia odległości od satelity do nawigatora na dwa sposoby i uzyskania niezbędnych równań.

Jeśli wymagane współrzędne nawigatora (x, y, z) i współrzędne satelity (xs, ys, zs), według twierdzenia Pitagorasa, odległość między nimi jest

\ (\ sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

Sygnał z satelity rozchodzi się z prędkością światła. z, więc jeśli został wyemitowany w pewnym momencie t0, i w tej chwili odbierany przez nawigatora t1wtedy ta sama odległość jest równa c(t1t0). Daje to równanie. Dane z trzech satelitów pozwalają stworzyć układ trzech równań dla trzech niewiadomych (x, y, z). Jaki jest haczyk?

Fakt, że nieznane nie jest tak naprawdę trzy, ale cztery, ponieważ nie można liczyć na wysoką dokładność zegara w nawigatorze. Na przykład błąd wynoszący jeden dziesiąty tysięczny procent – gdy zamiast jednej sekundy zegar mierzy 1.000001 sekund, a tylko około dwa i pół dodatkowe sekundy w miesiącu – spowoduje błąd o długości około 20 metrów podczas określania odległości od satelity.W zwykłych zegarkach dokładność udaru jest kilkakrotnie mniejsza, a błąd się kręci. Dlatego do obliczeń wprowadzono kolejną niewiadomą – błąd zegara odbiornika. Z tego powodu istnieje potrzeba innego równania, co oznacza, że ​​muszą istnieć co najmniej cztery satelity.


Posłowie

W naprawdę działającym systemie nawigacji satelitarnej wszystko jest oczywiście bardziej skomplikowane. Obliczenia współrzędnych nawigatora pod wieloma względami uwzględniają wiele czynników, które wprowadzają błędy w ustalaniu dokładnej pozycji: są to problemy z określeniem pozycji samych satelitów, zniekształceniami sygnału wprowadzonymi przez atmosferę, a nawet efektami relatywistycznymi. Szczegółowe omówienie tych zagadnień można znaleźć w artykule Analiza błędów dla Globalnego Systemu Pozycjonowania, jak również wskazanej w nim literaturze.

Satelity GLONASS znajdują się na okrągłych orbitach o wysokości 19 400 km. Teraz w konstelacji jest 27 satelitów, z których 24 są używane zgodnie z ich przeznaczeniem (dwa kolejne znajdują się w rezerwie, a jeden w fazie testowania). Jak widać na rysunku, orbity satelitów są podzielone na trzy rodziny.

Orbity satelitów systemu GLONASS (niebieskie linie). Same satelity są wyznaczone czerwone kropki. Szare kropki – inne satelity.Widać, że Ziemia jest spowita w "chmurę" dużej liczby satelitów bliskich Ziemi, a także rodzina satelitów na orbicie geostacjonarnej. Obraz z stuffin.space

Pojawia się następujące pytanie: jaka jest minimalna liczba satelitów potrzebnych do zapewnienia pełnego pokrycia Ziemi i że w dowolnym momencie widoczne są cztery satelity z dowolnego punktu na powierzchni? Oczywiście tutaj trzeba od razu wykonać wiele uproszczeń, redukując zadanie do czysto geometrycznego (prawda, geometria jest tu sferyczna): Ziemia powinna być uważana za kulę, orbity – koła, których ośrodki pokrywają się ze środkiem kuli, orbity od jednej rodziny – zbieżne. Czy możliwe jest, bez odwoływania się do komputera, uzyskanie dokładnego oszacowania minimalnej liczby satelitów?

Według obliczeń autorów problemu teoretycznie 18 satelitów może wystarczyć dla GLONASS. Jeśli ktokolwiek z czytelników otrzyma niższą ocenę w stosunkowo prosty sposób (i bez pomocy komputera), z przyjemnością się tego dowiemy. Ogólnie rzecz biorąc, uzasadnienie jest następujące. Niech sześć satelitów obraca się w regularnych odstępach wzdłuż równikowej orbity o promieniu 25.800 km. Następnie można obliczyć, że na szerokościach geograficznych mniejszych niż 60 ° co najmniej dwa satelity są zawsze widoczne.

Rzeczywiście, satelitę na takiej orbicie widać z sferycznego koła o promieniu

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \),

gdzie R = 6400 km to promień Ziemi, i rs = 25 800 km – promień orbity satelitarnej. Słowo "promień" (i inne odniesienia do długości) oznacza tutaj promień sferyczny, to znaczy kątową miarę łuku dużego koła kuli. Gdy satelity są równomiernie rozmieszczone na orbicie, środki odpowiednich okręgów (obszary widoczności) są oddalone o 60 ° od siebie na równiku. Jeśli narysujemy trzy takie kolejne koła, jasne jest, że powyżej środka środkowego znajduje się strefa, w której widoczny jest tylko jeden satelita. Niższym punktem tej strefy jest punkt przecięcia okręgów sąsiadujących ze środkiem. Dlatego maksymalna szerokość strefy, z której co najmniej dwa satelity są zawsze widoczne, jest wysokością sferycznego trójkąta z bokami (2π / 3, α, α). Wysokość można znaleźć za pomocą wzorów Napiera, ponieważ dzieli ten trójkąt na dwa równe i tworzy kąt prosty z równikiem.

Tak więc, dla każdej orbity istnieją dwa sferyczne "czapki" o promieniu mniejszym niż 30 °, gdzie co najmniej dwa satelity nie zawsze są widoczne. Trzy takie "czapki" można z łatwością umieścić na półkuli bez przecięć: możesz ustawić się wzdłuż dużego koła przechodzącego przez słup.Nie będą się czołgać nad półkulą, ponieważ "rozwiązanie" centralnego kąta dla każdej "czapki" jest mniejsze niż 60 °, to znaczy wszystkie trzy "czapki" mieszczą się w zakresie 180 °. Kiedy zostaną one ustawione w ten sposób, odpowiednie trzy orbity z sześcioma satelitami na każdej pokryją całą Ziemię iz każdego punktu na powierzchni ziemi cztery satelity będą zawsze widoczne. Wszakże jeśli jesteśmy wewnątrz "czapki" należącej do jednej orbity, to jesteśmy poza dwoma innymi "czapkami", a na każdej z odpowiednich dwóch orbit zawsze widzimy co najmniej dwa satelity.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: