Pythagorean pants division • Nikolay Avilov • Popularne zadania naukowe w "Elementach" • Matematyka

Podział spodni z Pythagorei

Zadanie

Trzy kwadraty są zbudowane po bokach trójkąta prostokątnego. Ten obraz znany od dawna jest czasami nazywany "pitagorejskimi spodniami". Zbuduj (kompas i linijka) kolejny kwadrat, aby podzielić obszar każdego z kwadratów spodni pitagorejskich na pół.


Wskazówka 1

Przykład odpowiedniego kwadratowego układu pokazano na ryc. 1.

Ryc. 1.


Wskazówka 2

Prosta linia przechodząca przez środek kwadratu dzieli ją na pół.


Rozwiązanie

Jeśli ten trójkąt prostokątny jest równoramienny, problem zostanie rozwiązany po prostu. Dlatego zakładamy, że jego nogi są inne.

Jak często robimy przy rozwiązywaniu problemów konstrukcyjnych, zacznijmy od analizy: badamy sytuację, w której wymagany kwadrat jest już skonstruowany. Niech więc podany zostanie trójkąt prostokątny ABC z nogami BC = a i AC = b (bez utraty ogólności, wierzymy w to a > b) i przeciwprostokątnej AB = c, po bokach których budowane są kwadraty. Pozwól Och1 i Och2 – środki kwadratów zbudowanych na nogach (ryc. 2). Umieść wymagany kwadrat KFMN więc po jego stronie KN i KF przeszedł przez punkty Och1 i Och2 równolegle do nóg a i b, odpowiednio. Następnie na górze M ten kwadrat leży na dwusiecznej kąta FKN. Pozostaje ustalić pozycję punktu M na tej dwusiecznej, biorąc pod uwagę obszar pięciokąta ABEMP musi być równy połowie powierzchni kwadratu z bokiem c (tj. (a2 + b2) / 2). Pozwól P i E – punkty przecięcia segmentów Mf i MN z odpowiednimi bokami tego kwadratu.

Ryc. 2

Upuść prostopadłe: MH na AB, PL i ET na MH. Następnie \ (\ angle EMT = \ angle MPL = \ angle ABC = \ beta \).

Wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych xAy. Niech kropka M ma współrzędne (x, y), a następnie równości są spełnione. Ah = PL = x, MH = y. W trójkącie PML mamy \ (ML = x \ mathrm % \, \ beta = xb / a \), \ (AP = HL = y-xb / a \). Ponieważ \ (TE = BH = c-x \), to w trójkącie EMT mamy: \ (MT = (c-x) \ mathrm % \, \ beta = (c-x) \ frac ab \), następnie \ (BE = HT = y- (c-x) \ frac ab \).

Obszar Pentagonu ABEMP jest sumą obszarów trapezoidalnych APMH i BEMH. Dlatego jego obszar (który musi być równy \ (\ frac {c ^ 2} 2 \)) jest równy sumie \ (\ frac12 (AP + MH) \ cdot AH + \ frac12 (BE + MH) \ cdot BH \). Po zastąpieniu otrzymujemy ważne równanie:

\ [\ dfrac {c ^ 2} 2 = \ dfrac12 (2y- \ dfrac % a) x + \ dfrac12 (2y- (c-x) \ dfrac ab) (c-x). \]

Pozwól Q – środek przeciwprostokątnej AB. Od odległości od punktu Q do każdej z prostych KN i KF to \ ((a + b) / 2 \), a następnie Q – punkt przecięcia KM i AB. Dlatego segment Kq równolegle do dwusiecznej kąta C trójkąt ABC, to znaczy tworzy kąt \ (45 ^ \ circ + \ beta \) z dodatnim kierunkiem osi x. Wtedy jego współczynnik kątowy wynosi \ (\ mathrm % \, (45 ^ \ circ + \ beta) = \ frac {\ mathrm % \, 45 ^ \ circ + \ mathrm % \, \ beta} {1- \ mathrm % \, 45 ^ \ circ \ mathrm % \, \ beta} = \ frac {a + b} %. \)

Biorąc pod uwagę ten punkt Q ma współrzędne (c/ 2, 0), otrzymujemy równanie tej linii:

\ [y = \ dfrac {a + b} {a-b} x- \ dfrac {c (a + b)} {2 (a-b)}. \]

Rozwiązując układ złożony z tego równania bezpośredniego i ważnego równania, znajdujemy ten punkt M ma następujące współrzędne:

\ [M \ left (\ dfrac % % (cb \ sqrt2), \, \ dfrac {a + b} {2 (ab) ^ 2} (c (a + b) -2ab \ sqrt2) \ w prawo). \]

Teraz możesz przystąpić do budowy, która odbywa się w kilku prostych krokach:
1) Zbuduj kąt prosty z wierzchołkiem Kktórych boki przechodzą przez punkty Och1 i Och2 równolegle do nóg trójkąta ABC.
2) Zbuduj dwusieczną tego kąta, przechodzi przez środek Q przeciwprostokątna AB.
3) Na przeciwprostokątnej AB zbuduj punkt H takie, że \ (AH = \ frac % {a-b} (c-b \ sqrt2) \). Konstrukcja działki Ah jest zredukowany do konstrukcji czwartej proporcjonalnej dla segmentów a, \ (a-b \) i \ (c-b \ sqrt2 \)
4) Przez punkt H rysujemy linię prostą, prostopadłą do przeciwprostokątnej AB. Punkt M jest punktem przecięcia tego prostopadłego i Kq.
5) Od punktu M narysuj promienie Mf i MNodpowiednio równolegle do boków kąta prostego z wierzchołkiem K.


Posłowie

Zbudowany kwadrat nie jest jedyny. W rzeczywistości jest nieskończenie wiele takich kwadratów. Pokaż to.

Oczywiście możliwe jest skonstruowanie nieskończenie wielu prostych kątów, których boki przechodzą przez środki kwadratów zbudowanych na nogach: ich wierzchołki leżą na okręgu o średnicy Och1Och2. W tym przypadku wierzchołki muszą znajdować się na łuku leżącym poza oboma kwadratami, zbudowanym na nogach (i "między" nimi). Rozważ jeden z tych kątów (na rysunku 3 kąt ten jest narysowany na czerwono). Tworzymy kwadrat, którego dwie strony leżą po bokach tego kąta. Jasne jest, że jeden z wierzchołków tego kwadratu leży na dwusiecznej kąta. Po lewej na rys. 3 pokazuje najmniejszy taki kwadrat. Można zauważyć, że jego boki są podzielone na pół przez obszar kwadratów zbudowanych na nogach, a jeden z jego szczytów leży na boku mniejszego kwadratu. W tym przypadku boki czerwonego kwadratu są odcięte od kwadratu, zbudowanego na przeciwprostokątnej, pięciokąta o powierzchni nieco większej niż jedna czwarta jego powierzchni.

Ryc. 3

Jeśli teraz "napełnimy" czerwony kwadrat, zwiększając jego bok, to obszar pięciokąta, który będzie przecinany, będzie stale wzrastał do obszaru zbliżonego do trzech czwartych powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Równocześnie jeden z wierzchołków kwadratu dzielącego pokrywa się z punktem przecięcia dwusiecznej z bokiem kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (prawy obrazek na ryc. 3). Tak więc, biorąc pod uwagę ciągłość funkcji obszaru, zgodnie z twierdzeniem Bolzano-Cauchy'ego, można stwierdzićże istnieje boczna długość kwadratu dzielącego, przy którym powierzchnia pięciokąta będzie równa połowie powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Dzięki temu możliwe jest uproszczenie konstrukcji trójkątów, w których długości nóg różnią się niewiele od siebie.

Rozważ tę konstrukcję, ograniczając analizę. Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej dzielimy na 16 równych kwadratów (ryc. 4). Z węzła M pod kątem 45 ° promieniować prostopadle do siebie Mf i MN. Przez centra Och1 i Och2 kwadraty zbudowane na nogach, rysujemy proste linie FK i NKrównolegle do promieni MN i Mf, odpowiednio. Zdobądź plac MNKFdzieląc na połowę obszar każdego z trzech kwadratów "pitagorejskich spodni". Zobacz sam.

Ryc. 4

Zadanie to zostało zaproponowane podczas XIII Konkursu Kreatywnego Nauczycieli Matematyki w Rosji. Uczestnicy konkursu stwierdzili, że taka konstrukcja jest możliwa nie dla wszystkich trójkątów prostych, ale tylko dla tych z \ (\ mathrm % \, \ angle A \), to znaczy stosunek większej nogi do mniejszej nie przekracza liczby t0 = 1,8393 …, co jest irracjonalnym korzeniem równania \ (t ^ 2-t ^ 2-t-1 = 0 \). Top K dzielenie kwadratu spada na granicy kwadratu zbudowanego na większej nodze, jeśli \ (\ mathrm % \, \ kąt A = t_0 \). Jeśli \ (\ mathrm % \, \ angle A> t_0 \), wówczas wierzchołek K dzielący się kwadrat wpada do kwadratu, zbudowany na większej nodze, a następnie powierzchnia tego kwadratu nie jest podzielona na pół.

Podsumowując, dodam, że zadanie zrodziło się jako jakiś analog ciekawego faktu, czytając książkę "Matematyczny kalejdoskop" polskiego matematyka G. Steinhausa. W nim argumentuje, że w płaszczyźnie znajduje się krąg, który dzieli o połowę obszary trzech regionów o dowolnym kształcie i podaje przykład takiego koła na mapie geograficznej, która dzieli na równe części trzy kształty, które są konturami Austrii, Polski i Rumunii. Pamiętając trzy kwadraty "pitagorejskich spodni" i zastępując okrąg czwartym kwadratem, sformułowałem proponowany problem.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: