Błądzenie fotonów • Hakobyan Hayka • Popularne zadania naukowe na temat "Elementów" • Fizyka

Photon wędrować

Poniżej rozważamy najprostszy fizyczny problem dyfuzji fotonów z głębi gwiazdy na zewnątrz i zbadania dwóch najważniejszych wielkości fizycznych, średniej swobodnej ścieżki i współczynnika nieprzezroczystości.

Ryc. 1. Ilustracja fizycznego znaczenia przekroju interakcji

Wyobraź sobie cząstkę, która leci wewnątrz gazu z innych cząstek o stężeniu n. Niech ta cząstka może oddziaływać tylko z tymi cząstkami, które są blisko niej, w okręgu z centrum cząstki i obszarem σ. Ile interakcji wystąpi, gdy cząsteczka leci na odległość dx?

Oczywiście, będzie tyle interakcji, ile cząstki wpadają w "rurkę" o długości dx oraz obszar przekroju σ, czyli n· Dx·σ.

Ryc. 2 Wędrówka fotonu w głębi gwiazdy. Każdy krok l1, l2 i tak dalej – losowo, w wyniku, przez N kroki cząstki lecą w pewnej odległości D

Jeśli teraz przyrównywamy to wyrażenie do 1, to dx będzie wyrażać długość, przy której następuje średnio jedna interakcja – jest to tzw darmowa ścieżka l = 1/(nσ). Parametr σ nazywany jest interakcyjnym przekrojem, jest określany przez mikrofanikę określonej interakcji i tutaj nie będziemy wchodzić w te szczegóły. Czasami równość dla wolnej ścieżki jest rejestrowana jako l = 1 / (ρκ), używając parametrów o innych wymiarach: ρ jest gęstością, a κ jest współczynnikiem nieprzezroczystości. Aby lepiej zrozumieć te fizyczne koncepcje, proponuje się najpierw rozwiązać lub przynajmniej przyjrzeć się problemowi kolizji fotonów, w którym omówiono przekrój oddziaływań foton-foton i średnią swobodną ścieżkę.

Najbardziej "popularnym" typem rozpraszania fotonów w solarnym wnętrzu jest rozproszenie Thomsona fotonu na wolnym elektronie. Przekrój tej interakcji to σT = 6,7×10−25 patrz2.

Teraz wyobraź sobie, że gdzieś pośrodku gwiazdy wyemitowano foton. Oczywiście nie może swobodnie rozprzestrzeniać się w gęstym zjonizowanym wnętrzu gwiazdy, a zatem będzie stale się rozpraszał. Ścieżka fotonu zostanie zorganizowana jako losowy spacer z losowym krokiem (ryc. 2).

Zadanie

1) Zakładając, że rozproszenie fotonów we wnętrzu Słońca wynika głównie z interakcji Thomsona, obliczyć charakterystyczna swobodna ścieżka fotonu. Uważają, że słońce składa się tylko z całkowicie zjonizowanego wodoru.
2) Pozwól fotonowi N kroki losowego spaceru (średnio długość każdego kroku jest równa długości wolnej ścieżki). Który średnio, odległość będzie latać?
3) Stawka czas, w którym foton urodzony w samym środku Słońca opuszcza swoje granice.


Podpowiedź

Zauważ, że na rys. 2 pełna ścieżka wyrażona przez wektor D – jest sumą małych kroków li. Każdy taki mały krok, jaki foton wykonuje w i-tym kroku przed kolizją, jest losowy. Jeśli weźmiemy pod uwagę wiele, wiele fotonów, które poruszają się w ten sposób, to przeciętnie kierunek tego i-tego kroku może być dowolny, ponieważ foton może być rozproszony w dowolnym kierunku. Dlatego, jeśli uśredniamy owe "stopnie" wszystkich fotonów, otrzymamy zero.

Podobnie, jeśli po prostu średnią dla wszystkich różnych fotonów pełną ścieżkę D, która jest sumą poszczególnych kroków, a następnie otrzymujemy także zero (jako suma zer).

Dlatego musimy pamiętać, że jeśli kierunek każdego kroku jest arbitralny, to długość każdego kroku jest średnio równa długości wolnej ścieżki. l. Biorąc pod uwagę, że kwadrat długości wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora, można się domyślić, co należy zrobić z D przed uśrednieniem.


Rozwiązanie

1) Użyjemy tej formuły l = 1/(nσ) dla średniej drogi swobodnej, gdzie σ jest przekrojem rozproszenia Thomsona, oraz n – stężenie elektronów, które jest dokładnie stężeniem protonów, ponieważ wierzymyże Słońce jest w pełni zjonizowanym wodorem. W związku z tym całkowita liczba elektronów (protonów) Ne = M/mHa ich koncentracja jest ne = N/Vgdzie V – objętość słońca.

Tak więc dla Słońca o średniej koncentracji elektronów ne mamy, że wolna ścieżka fotonu jest równa l = 1/(neσT) ≈ 1,8 cm

W rzeczywistości wolna ścieżka jest około 20 razy krótsza ze względu na obecność innych efektów, które omówimy w posłowie.

2) Aby rozwiązać ten problem, przedstawiamy wektor D w postaci sumy wektorów – kroki losowego spaceru: D = l1 + l2 + … + lN.

Ustawmy tę równość, czyli pomnóżmy wektor samemu skalarnie. Po lewej stronie będzie po prostu długość wektora w kwadracie, a po prawej, jak łatwo zauważyć, oprócz kwadratów długości stopni li2 krzyżowe produkty skalarne wyjdą l1·l2, l1·l3 i tak dalej

Teraz to równanie musi być uśrednione. Fizycznie oznacza to, że rozpoczynamy wiele, wiele fotonów od centrum Słońca i patrzymy na to, co średnio wartości li2 i skalarne produkty par wektorów. Średnio każdy li2 równa się l2, a produkty skalarne są przeciętnie zerowane, ponieważ kierunki tych wektorów są absolutnie arbitralne. Dostajemy to D2 = l2 + l2 + … + l2 = N · l2gdzie N – jest to liczba kroków.

To znaczy \ (D = \ sqrt {N} l \).

3) Średnia wolna ścieżka wewnątrz Słońca okazała się równa l ≈ 1,8 cm D = Rznajdziemy to dla N = R2/l2 foton osiąga odległość od środka Słońca do krawędzi. Aby przetłumaczyć to na czas, bierzemy pod uwagę, że foton spędza czas na każdym kroku. l/ci zdobądź: (R2/l2)·(l/c) ≈ 2800 lat.

W rzeczywistości, jak wspomniano powyżej, prawdziwa średnia droga wolna jest 20 razy mniejsza, więc rzeczywisty czas wyjazdu wynosi około 57 000 lat.

Okazuje się, że foton produkowany w głębinach Słońca dociera do nas dopiero 50 000 lat po urodzeniu. Innymi słowy, jeśli ktoś nagle magicznie wyłączy termojądrowy "reaktor" w centrum Słońca, wówczas nie będziemy tego podejrzewać przez kilka dziesiątków tysięcy lat.


Posłowie

Podsumujmy powyższe. Rozpraszanie fotonów powstałych w wyniku reakcji termojądrowych w głębinach Słońca, spowalnia ich ucieczkę. W związku z tym ruch fotonów wewnątrz Słońca opisywany jest jako dyfuzja – przypadkowy spacer – z pewnym krokiem, zwanym średnią swobodną ścieżką, która jest równa l = 1/(nσ) = 1 / (ρκ), gdzie κ jest współczynnikiem nieprzezroczystości, a σ jest rozpraszającym przekrojem.

Ryc. 3 Fotonowe rozpraszanie na wolnym elektronie (rozpraszanie Thomsona)

W przypadku gdy rozproszenie jest tylko Thomsona, to znaczy elektrony są głównie rozpraszane przez wolne elektrony (ryc. 3), współczynnik nieprzezroczystości (i przekrój rozproszenia) nie zależy od temperatury ani gęstości. To przybliżenie działa dobrze w bardzo wysokich temperaturach (rys. 6).

W niższych temperaturach, gdy część protonów nadal znajduje się w składzie atomów (częściowa jonizacja), możliwe jest inne bardziej efektywne rozpraszanie i absorpcja fotonów. Na przykład, fotony pewnych energii mogą być pochłaniane przez związane elektrony w atomie, który z tego powodu przenosi się na wyższe "wyższe" poziomy energii (ryc. 4). W tym przypadku mówi się, że foton wzbudził atom. Taka absorpcja nazywana jest związaną (tj. "Połączona – połączona" – atom ze stanu połączonego staje się połączonym, nic nie jonizuje).

Ryc. 4 Wchłanianie fotonu przez związany elektron i wzbudzenie atomu. Zdjęcie z fysikcbogen.systime.dk

Ponadto, jeśli energia fotonu jest wystarczająco wysoka, elektron nie może po prostu przejść do bardziej "wysokiego" poziomu, ale także odłączyć się od atomu – atom jest zjonizowany. Taki proces nazywany jest czasem fotojonizacją lub procesem bez ograniczeń ("bez połączenia").

Jeśli są one związane i bez ograniczeń, to prawdopodobnie jest bezpłatny? Tak, ale ten proces jest nieco bardziej skomplikowany. W fizyce od dawna znany jest proces, w którym naładowana cząstka światła, na przykład elektron, jest przyspieszana w polu jonu (protonu). Przyspieszenie naładowanej cząstki musi koniecznie towarzyszyć emisji fotonu; takie promieniowanie nazywa się bremsstrahlung (najczęściej w języku niemieckim) bremsstrahlung (ryc. 5, lewa).

Ryc. 5 Bezpośredni (po lewej) i odwrotnie (po prawej) bremsstrahlung

Mikrofizyczne procesy są zawsze odwracalne, a zatem możliwy jest proces odwrotny, a mianowicie absorpcja fotonu przez jednocześnie rozłączne elektrony i jony (ryc. 5, po prawej). Proces ten nazywa się absorpcją wolną od swobodnych.

Tak więc, w niskich temperaturach, jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie te absorpcje, współczynnik zmętnienia ma następującą funkcjonalną zależność od gęstości i temperatury (prawo Kramerów, właściwa "spadająca" część wykresu na Fig. 6)

\ [\ kappa \ sim \ frac {\ rho} {T ^ {7/2}}. \]

W jeszcze niższych temperaturach, na przykład na powierzchni gwiazd, gdy oprócz atomów mogą również istnieć cząsteczki i jony H (wodór z dodatkowym elektronem), główna część absorpcji zachodzi dokładnie na ich koszt. W tym samym czasie współczynnik krycia wzrasta wraz z temperaturą zgodnie z prawem κ ~ T4 (lewa, "zwiększająca" część wykresu na ryc. 6). Okazuje się, że ten sposób absorpcji fotonów jest bardzo ważny w atmosferach czerwonych olbrzymów i protogwiazd (gwiazd, które wciąż znajdują się w stanie kompresji, a w centrum których nie ma jeszcze intensywnych reakcji termojądrowych).

Ryc. 6 Mierzona w laboratoryjnych wartościach współczynnika nieprzezroczystości wodoru w zależności od temperatury. Różne krzywe odpowiadają różnym gęstościom. Widać to po prawej stronie wykresu idą do stałej wartości, jest to tryb rozproszenia Thomsona (κ ~ const). W niższych temperaturach działa tryb Kramerów \ (\ kappa \ sim \ frac {\ rho} {T ^ {7/2}}. Przy temperaturach poniżej ~ 8 × 103 Rozpraszanie K wynika głównie z obecności jonów H i cząsteczki zgodnie z prawem \ (\ kappa \ sim \ rho ^ {1/2} T ^ 4 \). Figura z książki S. Chandrasekhara, Wprowadzenie do badania struktury gwiazd

Uzbrojeni w tę wiedzę, w jednym z poniższych zadań zobaczymy, dlaczego wszystkie gwiazdy głównej sekwencji o masach od 0,1 do 100 mas Słońca spadają na jedną linię na diagramie Hertzsprunga-Russella i wyprowadzają kształt tej linii.

Przy opracowywaniu problemu wykorzystano książkę D. Maoz, Astrofizyka w skrócie.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: