Czego roześmiał się Gelfand (opowiadanie matematyczne dla nie matematyków)

O czym śmieje się Gelfand (opowiadanie matematyczne dla matematyków)

E. Glagoleva, V. Ptushenko
"Kvant" №4, 2013

Israel Moiseevich Gelfand (1913-2009)

2 września 2013 r. Izrael Moiseevich Gelfand, jeden z największych naukowców XX wieku, skończył 100 lat.

W świecie nauki Gelfand jest najlepiej znany jako matematyk, który pozostawił swój ślad w prawie wszystkich dziedzinach współczesnej matematyki. Biolodzy również go znają (ciekawy jest fakt, że gdy pojawiły się prace biologiczne Gelfand, niektórzy eksperci zastanawiali się, czy ten biolog nie miał nic wspólnego ze słynnym matematykiem Gelfandem). A pedagog Gelfanda jest prawie zupełnie nieznany.

Nie jest to jednak zaskakujące: nigdy nie był nauczycielem teoretycznym, nie ma jednej pracy z pedagogiką. Jego niezwykle interesujące i, rzec można, mądre, pedagogiczne poglądy są realizowane w jego rozległej wieloletniej działalności. I, oczywiście, w jego uczniach.

Nie przesadzając, można powiedzieć, że wszyscy uczniowie Gelfanda porozumieli się z nim. Niezależnie od tego, czy chodzi o przypadek, któremu towarzyszy mniej lub bardziej długotrwała rozmowa, czy pojedyncza rozmowa, a nawet prosta obecność podczas rozmowy – ludzie z pewnością do pewnego czy innego stopnia doświadczyliby jej wpływu.

I był jednym z pierwszych, którzy założyli matematyczny krąg dla uczniów w Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, brał udział w organizacji pierwszych moskiewskich olimpiad matematycznych.

Ale głównym wkładem Gelfanda w pedagogikę jest bez wątpienia Matematyczna Szkoła Korespondencji (obecnie znana jako VZMSH), która jest w pełni jego dziełem i która została wymyślona i stworzona dosłownie od zera.

To było prawie 50 lat temu. Zdarzyło mi się wtedy pracować z Izraelem Moiseevichiem. Byłem pierwszym "pełnoetatowym" pracownikiem szkoły korespondencyjnej i tym razem był to jeden z najtrudniejszych i najszczęśliwszych w moim życiu.

Ten artykuł jest ostatnim przydziałem Izraela Moiseevicha. Potem mieszkał w Ameryce, a rozmowa była w jego biurze na Uniwersytecie Rutgers. Nigdy więcej go nie spotkałem. Szkoła korespondencyjna rozrosła się i nadal działa, chociaż formalnie nie istnieje.

E. Glagoleva

Od dłuższego czasu jest taka legenda: jakby jakiś czas jakiś przełożony przybył do głębi szkoły, a podczas lekcji matematyki nauczyciel wyjaśnił dodawanie ułamków uczniom. "Licznik pierwszej części – powiedział nauczyciel – musi być dodany do licznika drugiego, a mianownik pierwszego – do mianownika drugiego."Po lekcji zaskoczony "wysoki gość" podszedł do nauczyciela i powiedział mu, jak prawidłowo ułożyć frakcje. Nauczyciel rozpoczął następną lekcję słowami: "Zostaliśmy tutaj poprawieni: nowa instrukcja pochodzi od Centrum, a teraz musimy dodać frakcje w inny sposób.

Około 15 lat temu anegdota, którą ktoś opowiadał podczas rozmowy z kilkoma matematykami, wśród których był Israel Moiseevich Gelfand. Jeden z autorów tego artykułu, który był obecny podczas rozmowy, odpowiedział na anegdotę fragmentem, który był nieoczekiwany dla rozmówców:

– Cóż, dlaczego tak naprawdę nie można dodawać takich frakcji? Wprowadzimy taką zasadę dodawania ułamków, więc dodamy je! Co nam przeszkadza?

Natychmiast pojawił się sprzeciw:

– Ale wtedy prawo dystrybucji nie zostanie wykonane!

– Cóż, jeśli wszystko pozostawisz niezmienione, to oczywiście! Zmienimy zasadę mnożenia ułamków tak, aby spełnione było prawo dystrybucji, podobnie jak wszystkie inne właściwości dodawania i mnożenia.

– Cóż, spróbuj! – rozmówcy byli jeszcze bardziej zaskoczeni. – Zastanawiam się, jak ci się uda!

W odpowiedzi na tablicy pojawiła się formuła:

Tu Gelfand roześmiał się:

– Świetnie! – powiedział. – Napisz o tym. Tutaj piszemy.

Dlaczego Gelfand się śmiał?

Faktem jest, że zgodnie z zasadą pomnożenia, Izrael Moiseevich nauczył się znanych liczb w matematyce i liczbach, które były szeroko stosowane w różnych dziedzinach, tylko ubrane w czyjeś ubrania!

Dlatego spowiadamy się na tę "ukrytą grę" i odnotowujemy, że zapis "a/b"w naszym przypadku nie oznacza oczywiście ułamka, choćby dlatego, że ułamki są dodawane i mnożone zgodnie z różnymi zasadami, więc zastąpimy" fantazyjny strój "inną nazwą, na przykład , a także zamiast nielegalnie przypisanej nazwy "ułamek", podajemy inny, na przykład "dziwne liczby" lub krótko "c-liczby".

Ale dlaczego niektóre dziwne "ułamki" można uznać za liczby? I skąd się wzięło to najbardziej rozpowszechnione prawo i inne prawa? I ogólnie:

Co nazywamy liczbami?

Mówiąc najprościej, liczby to coś, co można dodać i pomnożyć, a jednocześnie spełnione są pewne zasady – prawa dodawania i mnożenia, a mianowicie:

a + b = b + a, a · b = b · a,

(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c),

a (b + c ) = ab + ac.

Te wymagania są spełnione dla wszystkich rodzajów liczb, zaczynając od liczb naturalnych, a kończąc na liczbach rzeczywistych.

Ale dlaczego te cechy liczb są tak ważne – w szczególności właśnie takiea nie inne, prawa dodawania i mnożenia? Na przykład, dlaczego suma musi się koniecznie nie zmieniać przy zmianie miejsc przedmiotów, a iloczyn sumy przez liczbę musi być koniecznie równy sumie prac parami? I skąd się wzięły te zasady?

Dotknij cyfry dłońmi

Kiedy rozwiązujemy każdy problem za pomocą matematyki, zamiast rzeczywistych obiektów używamy ich matematycznych obrazów. Ale liczby (a dokładniej liczby naturalne) nie były rozdzielane przez bardzo długi czas od ich, by tak rzec, materialnych nośników: ludzie uważali za nie słowa, ale kamienie, węzły, nacięcia i wreszcie palce.

Nawet później, gdy pojawiały się już liczby naturalne, praktyczne obliczenia często dokonywano nie na papierze, ale na przykład na abakach lub w rosyjskiej wersji – rachunki. Liczby można dosłownie dotknąć, a efekt praw można zobaczyć bezpośrednio. W rzeczywistości, jeśli w jednym koszyku znajduje się 100 jabłek, aw drugim 150 jabłek, nie jest konieczne ich łączenie i przeliczanie w celu stwierdzenia, ile ich jest. A ponieważ liczba jabłek nie zależy od koszyka, od którego zaczniesz je liczyć, wynik dodania liczb nie powinien zależeć od kolejności przedmiotów.

W tym samym czasie oczywiście nie było potrzeby formułowania praw.

Ani jednego wyniku …

Znajomość nowych zjawisk natury, rozwój ludzkiej działalności wymagał nowych obrazów matematycznych. Do liczenia przedmiotów wystarczały tylko liczby naturalne; gdy zaczęły się różne wymiary, pojawiły się frakcje.

Ponadto liczby z prostego narzędzia ludzkiej praktyki stały się przedmiotem badań naukowych i stało się jasne, że budowa systemu liczb musi mieć własną logikę, wewnętrzną spójność różnych właściwości tego systemu, ich wzajemną spójność. Jest mało prawdopodobne, aby w praktyce ktoś musiał wiedzieć, co się stanie, jeśli 2 zostanie podzielone przez zero. Ale w Indiach w VII wieku spierali się o to: niektórzy matematycy w to wierzyli x : 0 = x, ponieważ "dzielić przez zero oznacza, że ​​nic do podziału, a więc to, co zostało" pozostanie! Spróbuj obalić to stwierdzenie, nie myśląc o wzajemnych zależnościach różnych właściwości liczb, tj. teorie liczby! Można oczywiście powiedzieć, że dzielenie przez zero nie oznacza "nie dzielenia niczego", lecz "dzielenia na nic", ale będzie słusznie uważane za grę słów, która nie wyjaśnia istoty pytania.W takich sprawach intuicja, oparta na praktyce, na bezpośredniej obserwacji, w niektórych przypadkach nie wystarczała.

Tak, i ciągle nasze intuicyjne pomysły są sprzeczne z prawami matematycznymi. A teraz zdarza się, że ludzie są zaskoczeni: "Jak to jest: mnożymy liczbę" dwadzieścia "przez jedną sekundę, a otrzymujemy dziesięć? Mnożenie oznacza zwiększenie, ale okazuje się, że mniej." I odpowiedź na pytanie: "Co więcej – pięć procent z trzech lub trzech procent z pięciu?" nie jest to zawsze oczywiste nawet dla uczniów w klasie matematycznej, a ta odpowiedź jest bezpośrednią konsekwencją przemiennego prawa mnożenia.

Liczby ujemne nie są prostsze: chociaż istnieje dobra interpretacja liczb ujemnych jako "dług", w przeciwieństwie do wartości dodatnich, oznaczających "zysk", nadal liczby ujemne wydają się mniej naturalne niż ułamki. Co to jest pół jabłka lub trzecia szklanka wody, każdy może zobaczyć lub wyobrazić sobie. A kto trzymał w jego rękach "minus trzy ruble"? I zasady działania! "Co plus plus daje plusa, to plus minus to minus – może być, ale dać minus minus plus, to ty kłamiesz!"1 Nic dziwnego, że często nie mamy w codziennym życiu żadnych liczb ujemnych, mówiąc np. "Osiem stopni szronu" zamiast "minus 8 stopni" lub "Mam 3 tysiące rubli w długach" zamiast "Mam minus 3 tysiące rubli".

Nazwany gruzdem – wejdź w ciało!

Tak więc właściwości liczb i działań na nich są częściowo określone przez właściwości tych fizycznych obiektów lub procesów, które mają być opisane, a częściowo wynikają z potrzeby zbudowania spójnego, spójnego wewnętrznie systemu. Spójność i wewnętrzna spójność są tak samo konieczne dla aparatury matematycznej, jak spójność ruchów wszystkich części każdej maszyny – bez niej po prostu nie zadziała.

Spójność ta jest zapewniona przez fakt, że wszystkie zasady postępowania z liczbami i dosłownymi, czyli algebraicznymi, wyrażeniami wynikają z pięciu praw, które wymieniliśmy powyżej. W tym sensie pełnią one tę samą rolę w algebrze, co aksjomaty geometryczne, i żądając spełnienia dla niektórych nowych liczb, otrzymujemy "gwarancję", że nowa nie zepsuje starego, że wszystkie liczby można traktować zgodnie z tymi samymi zasadami .

W rzeczywistości możemy tylko nazwać nowy numer "liczbą", gdy upewnimy się, że spełnia on wszystkie wymagania wspólne dla numerów znanych wcześniej. Przysłowie: "Choć nazywasz garnek, po prostu nie wkładaj go do piekarnika" nie ma zastosowania w matematyce; tutaj inny jest o wiele bardziej odpowiedni: "Mam nazwę dla ciężarówki – dostań się do ciała!" W matematyce, jeśli coś nazywa się doniczką, można ją umieścić w piecu. Jeśli coś jest nazywane "liczbą" (lub "wektorem", "funkcją" lub "alfa-beta-gamma-abrakadabra"), to upewnij się, że dzięki niemu będziesz w stanie wykonać wszystkie działania i wszystkie właściwości będą charakterystyczne dla danego typu obiektów matematycznych.

Dziwne, ale wciąż – liczby

Dlatego nie wierząc w słowo, przed wywołaniem dziwnych ułamków liczbami, choć dziwne, należałoby uważnie sprawdzić implementację wszystkich pięciu praw. Sprawdzimy tylko dwa z nich, pozostawiając czytelnikowi samodzielną kontrolę reszty.

1) Prawo transferowe (przemienność) do dodania: . W rzeczywistości

Tutaj średnia równość jest prawdziwa, ponieważ prawo przemienne jest ważne dla dodawania liczb rzeczywistych (zarówno powyżej, jak i poniżej działań linii są wykonywane ze "zwykłymi" liczbami rzeczywistymi), a skrajne równe znaki są prawdziwe na mocy naszej definicji dodawania operacji "dziwnych liczb".

2) Prawo dystrybucji (dystrybucja): W rzeczywistości:

W tym łańcuchu równości stosuje się wszystkie pięć właściwości akcji z liczbami rzeczywistymi. Co otrzymaliśmy?

Zero i jedynki

Tak więc formalne wymaganie jest spełnione: liczby c, które wprowadziliśmy, są zgodne z prawami obowiązującymi dla wszystkich liczb.

Teraz spróbujemy "obrócić w dłonie" te nowe numery, zobaczyć, jak wyglądają one jak prawdziwe liczby znane nam, jak się od nich różnią, jak się mają do nich różne akcje, czy zawsze wykonywane są odwrotne akcje, czy jest zero i jeden i t spośród tych liczb dd

Przy okazji: czym jest zero?

Najprostszym sposobem na uzyskanie zera jest odjęcie:

zz = 0.

Dotyczy to dowolnej liczby. z. Innymi słowy, z dowolnym z równość jest prawdziwa

z + 0 = z,

to znaczy zero jest liczbą, z której jest dodawane do dowolnej liczby, która nie ulega zmianie. Równość tę można uznać za definicję liczby zero.

Łatwo zrozumieć, że wśród liczb c odgrywa rolę cyfra zero . Rzeczywiście:

Teraz szukaj jednostki. Jednostka jest dla mnożenia równa zeru dla dodania, tj. Liczba, z mnożenia, przez które nie zmienia się żadna liczba: jeśli dla dowolnej liczby to można nazwać jednostką pośród c-liczb.Łatwo to pokazać x = 1, y = 0, tj. Liczba odgrywa rolę jednostki dla c-liczb .

Rzeczywiste i dziwne: rozciągnij łańcuchy wiążące

Zobaczmy teraz, w jaki sposób zbiór liczb c związany jest ze zbiorem "zwykłych", tj. Liczb rzeczywistych? Używamy faktu, że dowolną liczbę c można podzielić na dwie kategorie (zgodnie z zasadą dodawania liczb c):

Rozważ pierwszy termin. Okazuje się, że liczby są zachowują się dokładnie tak jak większość zwykłych liczb rzeczywistych: suma i iloczyn takich liczb będzie liczbą tego samego rodzajuod

jednocześnie zarówno dodawanie, jak i mnożenie (oraz operacje przeciwne do nich) występują zgodnie z "zwykłymi" regułami (jak w "zwykłych" liczbach rzeczywistych, z wyjątkiem zera przypisanego do końca każdej liczby pod linią). I, co jest bardzo ważne, zarówno zero jak i elementy jednostki liczb c będą również wśród tych liczb to znaczy, że zarówno "zero", jak i "jeden" z liczb s i liczb rzeczywistych są powszechne! Dlatego jesteśmy "liczbami" formy możemy bezpiecznie oznaczać po prostu a. Następnie numer zostaną przedstawione jako suma .

Rozważamy teraz drugi termin, to znaczy liczbę formularza . Łatwo zauważyć, że dodanie takich liczb daje liczbę tego samego rodzaju:

Okazuje się, że liczby c są dodawane (i odejmowane) "według terminu": rzeczywiste terminy są z rzeczywistymi, a te dziwne z obcymi. Naturalnie: w końcu chcieliśmy dodać liczniki i mianowniki przy dodawaniu "frakcji".

Mnożenie jest trudniejsze, musisz wziąć pod uwagę różne sytuacje.

Najpierw zobaczmy, jak mnoży się numer formularza według rzeczywistej liczby. Aby to zrobić, we wzorze, który ustawia regułę mnożenia dla liczb c, umieść a = 0 i d = 0. Get

oznacza to, że przez pomnożenie liczby c przez zerowy "licznik" przez rzeczywisty otrzymujemy liczbę c. Następnie dowolna liczba c może być reprezentowany jako iloczyn liczby rzeczywistej b według numeru :

.

Okazuje się, że liczba , że tak powiem, generuje wszystkie liczby s, tak jak jednostka generuje wszystkie rzeczywiste. Dlatego nazywamy (tymczasowo) tą liczbą "c-unit" i oznaczamy ją jako: 1c.

Teraz każdy numer s można zapisać jako

Tutaj a i b – liczby rzeczywiste, "+" – znak dodania, b·1c – iloczyn liczby rzeczywistej b jednostka c, tj. liczba c .

Ta forma jest bardzo wygodna dla liczb c: w tej formie można uzyskać do nich dostęp zgodnie ze wszystkimi zasadami algebry, ponieważ sprawdziliśmy, że wszystkie prawa są przestrzegane, a zasady algebry wynikają z tych praw.Dlatego możemy teraz pomnożyć dwie liczby c zapisane w tej formie, zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

Nieoczekiwany wynik

Aby zakończyć mnożenie liczb c, pozostaje sprawdzić, co jest uzyskane przez pomnożenie dwóch liczb c formularza . Ponieważ, jak właśnie pokazaliśmy, każda liczba może być reprezentowany jako iloczyn liczby rzeczywistej i jednostki c, wystarczy sprawdzić, jaki kwadrat jednostki c jest równy, tj. (1c)2 . Weź numer i rozmnażaj się sam:

Tutaj możesz krzyczeć: straży! Kwadrat Numery s okazały się ważne negatywny według numeru! Jest to rzeczywiście zupełnie nowa i (jak się wkrótce przekonamy) bardzo ważna właściwość liczb c (pośród liczb rzeczywistych, jak pamiętamy, nic podobnego nie znaleziono).

Tak więc . Wymiana w następującej równości (1c)2 na -1, otrzymujemy

(a + b · 1c) · (c + d · 1c) = ac + reklama · 1c + bc · 1c + bd · (1c)2 = ac – bd + (ad + bc) · 1c.

Jeśli ta formuła jest zapisana w starej notacji, gdzie prawdziwy termin znajduje się w "liczniku", a ten dziwny jest w "mianowniku", tzn. Zastępuje a + b · 1c na , c + d · 1c na i ac – bd + (ad + bc) · 1c na wtedy otrzymamy regułę mnożenia zaproponowaną w rozmowie z Gelfand:

Usuń maskę

Teraz stanie się jasne, dlaczego Gelfand nie został oszukany przez nasze przebranie.Będziemy z niego wolni, a my wrócimy z liczbami c własne "ubrania" – oznaczenie i nazwa używane w matematyce.

W rzeczywistości jednostka c nie jest nazywana "dziwną" jednostką, ale wyobrażony i jest oznaczone literą i (od słowa imaginarius – wyobrażony). W związku z tym nasze dziwne liczby bi są wywoływane wyobrażonyi numery formularza a + bigdzie i = -1 są wywoływane złożony według numerów.

Jest oczywiste, że zestaw liczb zespolonych zawiera wszystkie liczby rzeczywiste (jeśli b = 0) i wszystkie liczby urojone (jeśli a = 0).2

Skąd wzięły się liczby zespolone?

Więc te nowe liczby zawierają liczbę, której kwadrat jest ujemny: i2 = -1. To są rzeczywiście nowe liczby, takich prawdziwych nie ma.

Oczywiste jest, że "z doświadczenia" takie liczby nie mogły powstać – w końcu nawet liczby ujemne nie były łatwo dostrzegalne przez matematyków, ponieważ trudno jest sobie wyobrazić "negatywne" obiekty realnego świata. A złożone liczby są czymś jeszcze bardziej "egzotycznym", co sprawia, że ​​jeszcze trudniej jest znaleźć dopasowanie w "prawdziwym" świecie.

Oczywiście, tutaj są potrzeby "intra-matematycznych". W szczególności wraz z rozwojem matematyki pojawiła się nowa zachęta do wprowadzenia nowych liczb: wykonalność operacji odwrotnych.Tak więc wprowadzenie liczb ujemnych i zero dało możliwość odejmowania i wprowadzenie ułamków – podział. (To prawda, że ​​istnieje znaczne ograniczenie podziału: podział przez zero jest niemożliwy, ale to ograniczenie tylko podkreśla, że ​​nie można nic zrobić w matematyce: nowa nie powinna być sprzeczna ze wszystkim, co wcześniej zostało zrobione i dowiedzione.) Wprowadzając liczby zespolone, akcja odwrotna do potęgowania.

Ale liczba złożona pojawiła się w matematyce z zupełnie innego powodu. Było to w XVI wieku. Wśród ówczesnych matematyków rozdawano różne konkursy, konkursy (czasem publiczne, jak współczesne matboi) na rozwiązywanie trudnych problemów. Jednym z tych zadań było znalezienie ogólnej formuły rozwiązywania równań sześciennych. Włoski matematyk Cardano (był także lekarzem i inżynierem: jego zadaniem jest półoś) w rozwiązaniu tego problemu stanął przed niesamowitym faktem. Jednym z podejść do rozwiązywania równań sześciennych było zredukowanie równania kwadratowego do równania kwadratowego za pomocą podstawień, znanej już metody rozwiązywania, a następnie otrzymanie pierwiastków kwadratowych w celu wyrażenia poszukiwanych sześciennych pierwiastków.W tym przypadku oczywiście uznano, że równanie kwadratowe z ujemnym dyskryminatorem nie ma korzeni. Wydawało się oczywiście, że jeśli pomocnicze równanie kwadratowe nie ma korzeni, to odpowiednie równanie sześcienne również ich nie ma.

Ale niespodziewanie okazało się, że w przypadku, gdy wyróżnik równania pomocniczego jest ujemny (tj. Wartość ujemna oznacza pierwiastek kwadratowy), oryginalne równanie sześcienne nie tylko ma pierwiastek lub dwa, ale ma trzy inny prawidłowy root! Aby obliczyć te korzenie, konieczne było działanie z pierwiastkami kwadratowymi liczb ujemnych. I tutaj Kar-Dan zrobił odważny krok: zaznaczył "nieutwardzony" pierwiastek z -1 litery i.

Tę sytuację można porównać do krętej drogi. Możemy przeskakiwać z jednej pętli do drugiej; w tym samym czasie, schodząc z drogi, w końcu wrócimy do niej ponownie. Miejsca w przestrzeni otaczającej ciąg drogi biegnący przez niekończące się pola lub lasy mogą nie zainteresować samotnie podróżującego, mogą być nie do pokonania bez specjalnych pojazdów, mogą nawet wydawać się "nierealne" i niepotrzebne (ponieważ nie są kamieniami milowymi, nie pomagają w przemieszczaniu się z miasta do miasta).Ale jeśli nadal można w jakiś sposób się do nich zbliżyć, mogą znacznie "odciąć" drogę.

Niemniej te "nierzeczywiste" punkty wokół "prawdziwego" z czasem okazały się bardzo interesujące same w sobie, a nawet nie tak "nierzeczywiste". Dla nich prototypy znaleziono w "prawdziwym" świecie, a liczby zespolone były następnie bardzo przydatne do opisu tych typów. Wśród tych prototypów były na przykład wahadła i fale. A ponieważ od pierwszych kroków stało się jasne, że cała materia ma właściwości falowe, możemy powiedzieć, że wszędzie otaczają nas skomplikowane liczby.

A co najważniejsze, liczby złożone przyniosły pewną harmonię do koncepcji matematycznych. Tak więc, na przykład, przy rozwiązywaniu równań algebraicznych w liczbach rzeczywistych, ciągle mamy do czynienia z pytaniem: czy to równanie ma korzenie, a jeśli tak, to ile? Dla różnych równań odpowiedzi na te pytania mogą być różne. Wraz z wprowadzeniem liczb zespolonych wszystko staje się piękne i naturalne: każde równanie algebraiczne ni stopień ma dokładnie n korzenie. A to tylko jeden przykład.

Ze światem na nitce – nagim stosem nici

Jak pamiętacie, autor artykułu, który zaproponował Gelfandowi dodanie ułamków za pomocą licznika "reguł" z licznikiem, mianownik z mianownikiem, "zagrożony" nieprzestrzeganiem prawa dystrybucji (lub innych praw).

Inny autor, z charakterystyczną skrupulatnością, postanowił sprawdzić, na czym dokładnie polega to naruszenie prawa. A potem był incydent! Okazuje się, że jeśli zaakceptujemy "regułę" dodawania i nie zmieniaj reguły mnożeniawtedy wszystkie prawa działania są doskonale spełnione.

Jaki jest wynik? I okazuje się, że takie "frakcje" można również uznać za liczby!

Na pierwszy rzut oka wydaje się niezrozumiałe, dlaczego tak prosty obiekt "nie trafił" w matematyce, dlaczego matematycy go ignorują, wprowadzając zupełnie inne, bardziej złożone zasady radzenia sobie z parami liczb? Przyjrzyj się jednak tym prostym regułom dodawania i mnożenia: pod żadnymi operacjami "liczniki" i "mianowniki" takich "frakcji" nie mieszają się! "Licznik" wyniku będzie zależeć tylko od "liczników" terminów lub czynników, a "mianownik" tylko od "mianowników". Licznik i mianownik takiego ułamka "żywy" każdy z własnym życiem – życie "zwykłego" zbioru liczb całkowitych.Każdy z tych dwóch "światów" (powyżej linii i poniżej linii) będzie miał własne zero, swoją jednostkę – dokładnie taką samą, jak w świecie liczb całkowitych.

Taka konstrukcja nie daje nic nowego: jest to wciąż prawdziwe liczby, właśnie teraz "chodzące" w parach. Przypomnijmy, że liczby wymierne są zasadniczo nowymi obiektami w odniesieniu do liczb całkowitych, podobnie jak złożone w stosunku do liczb rzeczywistych: wprowadzenie pierwszego dozwolonego rozwiązania dowolnego równania liniowego, wprowadzenie drugiego – równań algebraicznych dowolnego stopnia. W naszym przykładzie wydarzyło się coś, co zostało powiedziane w żartach w tytule tego akapitu: zestaw nici nie był koszulą, ale tylko garstką nici …

"A my jesteśmy gorsze?", Lub dlaczego wektory nie są liczbami?

Na zakończenie powiedzmy kilka słów o jeszcze jednym obiekcie matematycznym, podobnym do tego, który właśnie rozważaliśmy: wektory dwuwymiarowe. W końcu są to również uporządkowane pary liczb! Dlaczego nie są uważane za liczby? Jak są gorsze od liczb złożonych? Dodanie wektorów dwuwymiarowych jest bardzo podobne do dodawania liczb zespolonych – jest to również terminowo: pierwsza liczba (w przypadku wektora nazywana jest składnik) rozwija się z pierwszym, drugim – z drugim. Tutaj podobieństwo jest oczywiste. Można dodać, że liczby zespolone są często reprezentowane przez dwuwymiarowe wektory na tzw złożona płaszczyzna.

Jednak tam kończy się podobieństwo: wektory nie mają mnożenia. Tak zwany produkt kropkowany dwa wektory nie są wektorem – i jest to główny wymóg mnożenia tych obiektów, które można nazwać liczbami: tak, że daje obiekt o tej samej naturze, co czynniki. To prawda, że ​​w algebrze wektorowej również się wprowadzają produkt wektorowy dwa wektory, a jego wynikiem jest ponownie wektor. Najpierw jednak istnieje wektor w przestrzeni, to znaczy mający trzy składniki. Po drugie, nie spełnia prawa przemiennego. Dlaczego (i dlaczego)? – jest to temat na osobną rozmowę, która wykracza daleko poza granice matematycznego żartu, o którym Gelfand chciał napisać.


1 Z książki Iwana Wasilenki "Opowiadania o Artomce." Artyomka w dzieciach gimnazjalnych ".
2 Liczby formularza bi czasami określane jako czysto urojone.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: