Najcięższy biały karzeł • Hayoby Hakobyan • Popularne zadania naukowe w "Elementach" • Astronomia

Najcięższy biały karzeł

Pod koniec ich życiowej podróży, główna sekwencja gwiazd zużywa większość zasobów wodoru, dzięki czemu ciśnienie wewnętrzne traci zdolność zachowania grawitacyjnej kompresji powłoki (zobacz główne zadanie sekwencji). W przypadku gwiazd o masie do 8 razy większej od masy Słońca, w tej sytuacji mogą wystąpić dwa skutki. W pierwszym przypadku jądro może zapaść się, aż do momentu, gdy ciśnienie kwantowo zdegenerowanych elektronów zatrzyma zawalenie, zmieniając jądro w białego karła. W drugim przypadku, nawet jeśli ciśnienie zdegenerowanych elektronów nie powstrzyma zawalenia z powodu dużej grawitacji substancji, jądro skurczy się jeszcze bardziej, podczas gdy w wysokich temperaturach i ciśnieniach neutrony są zdegenerowane kwantowo, których ciśnienie już równoważy rozpad, powstaje gwiazda neutronowa.

Ryc. 1. Cykl życia gwiazdy. Ze względu na losowe wahania w obłoku pyłu gazowego, może tworzyć się zagęszczenie substancji, która stopniowo zwiększa swój rozmiar. Pojawiają się więc globule. Jeśli masa globulki wystarcza do kompresji grawitacyjnej, wówczas może rozpocząć się proces formowania się gwiazd. Pod koniec życia gwiazda głównej sekwencji zamienia się w czerwonego olbrzyma, którego los (a dokładniej śmierć) jest determinowany przez masę.Niewystarczająco masywne gwiazdy zapadają się w gwiazdę neutronową lub białego karła, a najcięższe nie zatrzymują się i zapadają dalej w czarną dziurę. Zdjęcie z futurism.com

W tym problemie proponuje się z pierwszych zasad określić, jaka może być maksymalna masa białego karła. Aby to zrobić, pamiętaj, że energia gwiazdy jest określona przez sumę energii cieplnej i grawitacyjnej

\ [E _ {\ rm tot} = E _ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

W przypadku białego karła, ponieważ wszystkie przeciwstawne ciśnienie grawitacyjne jest określane przez zdegenerowane elektrony, ET – to energia cieplna elektronów.

Energia relatywistycznej cząstki jest zapisana jako:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

gdzie m – masa cząsteczkowa, str – jej impuls. Co więcej, dla nierelatywistycznej (wolnej) cząstki E = mc2, jak powinno być (energia kinetyczna jest brana pod uwagę w następującej kolejności dekompozycji), a dla ultrarelatywistycznej cząstki (szybko, której energia kinetyczna jest znacznie większa niż energia spoczynkowa), mamy E = pc.

Zakładamy, że wszystkie elektrony w tak krytycznie ciężkim białym karle są ultrarelatywistyczne, to znaczy dla nich Ee = strec. Wtedy całkowita energia cieplna elektronów będzie równa ET = Npecgdzie N – liczba elektronów, oraz stre – pewna średnia wartość impulsu każdego z nich.

Aby oszacować średni pęd, wykorzystujemy fakt, że wszystkie elektrony są zdegenerowane. W przypadku zdegenerowanych elektronów, jak również w przypadku dowolnych cząstek o połowie spinu, obowiązuje zasada wykluczenia Pauliego. Dwa elektrony o jednakowo skierowanych obrotach nie mogą zajmować tego samego stanu.

Aby zrozumieć, co to oznacza, musisz zapewnić tak zwaną przestrzeń fazową dla przypadku, gdy istnieje tylko jedna współrzędna przestrzenna x. Ta przestrzeń jest płaszczyzną współrzędnych z osiami. strx i x. Punkt \ ((p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) w takiej przestrzeni oznacza cząstkę o pędzie \ (p_x ^ 0 \) znajdującą się w punkcie \ (x ^ 0 \) (ryc. 2). W przypadku trzech wymiarów przestrzennych przestrzeń fazowa będzie sześcio- wymiarowa i trudno ją będzie narysować.

Ryc. 2 Przestrzeń fazowa w przypadku pojedynczej współrzędnej przestrzennej x. Punkt w takiej przestrzeni reprezentuje cząstkę o określonej współrzędnej i pewnym rozmiarze.

Jeśli chodzi o cząstki zdegenerowane kwantowo, taka przestrzeń fazowa jest podzielona na komórki, z których każda, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, ma objętość \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (ryc. 3). Tylko dwa elektrony (z przeciwnymi spinami) można "włożyć" do takiej komórki kwantowej.a pozostałe elektrony będą już zatłoczone w sąsiednich komórkach.

Ryc. 3 Przestrzeń fazowa dla jednej współrzędnej przestrzennej. W przypadku cząsteczek zdegenerowanych kwantowo objętość komórki minimalnej wynosi \ (\ hbar \) (w przypadku trójwymiarowym, jak można się domyślić, jest to \ (\ hbar ^ 3 \))

Tak więc, w przestrzeni impulsów (część przestrzeni pełnej fazy), elektrony zajmą wszystkie komórki (dwa po jednym) aż do pewnego impulsu, który jest nazywany Pęd Fermiego strF. Nie ma po prostu więcej elektronów powyżej tego pędu, a poniżej wszystkie komórki są zajęte przez dwa elektrony (ryc. 4). Zatem średni (lub charakterystyczny) pęd elektronu będzie sprawiedliwy strF/2.

Ryc. 4 Trójwymiarowa przestrzeń impulsowa. Wszystkie cząstki o połowie całkowitym spinem zajmują komórki, których pęd nie przekracza pędu Fermiego. Takie komórki tworzą swoistą "kulę"

Łączna liczba elektronów N równy całkowitej objętości fazy (w sześciowymiarowej przestrzeni) podzielonej przez objętość jednej takiej komórki:

\ [N = 2 \ frac {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Współczynnik 2 powstał z powodu możliwości dwóch elektronów na komórkę, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) ma rozmiar jednej komórki, a \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) to całkowita objętość fazy.

Zadanie

1) Zakładając, że jądro gwiazdy jest neutralne elektrycznie i składa się głównie z wodoru, pomijając wszystkie współczynniki numeryczne, znaleźć maksymalna masa białego karła (masa Chandrasekhar). Wyraź to w masach Słońca.
2) Uważając elektrony za nierelatywistyczne, znaleźć zależność maksymalnego promienia białego karła od jego masy.


Wskazówka 1

Ponieważ materia gwiazdy jest elektrycznie obojętna, łatwo jest powiązać masę gwiazdy i liczbę elektronów.


Wskazówka 2

Pomyśl o stanie, w którym gwiazda będzie stabilna z pełną energią. W jakiej masie (lub promieniu, jeśli mówimy o drugiej części problemu) ten warunek jest naruszony? Należy pamiętać, że w pierwszym przypadku odpowiedź powinna być niezależna od promienia.


Rozwiązanie

Po pierwsze, ponieważ gwiazda jako całość jest elektrycznie obojętna, liczba elektronów powinna być w przybliżeniu równa liczbie protonów (tak naprawdę zależy to od składu, ale pomijamy współczynniki liczbowe). Ponieważ protony przyczyniają się głównie do masy gwiazdy, liczba protonów (a także liczba elektronów) będzie N = M/mstr.

Te elektrony muszą być "upakowane ciasno" zgodnie z zasadą Pauliego w komórkach elementarnych w sześciowymiarowej przestrzeni fazowej.Innymi słowy, całkowita liczba elektronów musi być równa całkowitej objętości fazy podzielonej przez objętość komórki elementarnej (z współczynnikiem 2, ale pomijamy to)

\ [N \ sim \ frac {(\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {(\ Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)} = \ frac {V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Objętość jednej komórki jednostki \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), przestrzenna objętość \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \), a "objętość" zajmowana przez cząstki w przestrzeni impulsów, jak już wspomniano powyżej, jest równa \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Tak więc mamy

\ [\ frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \]

gdzie to znajdujemy

\ [p_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Jak wspomniano powyżej, elektrony będą miały wszystkie możliwe impulsy aż do ograniczającego pędu Fermiego. strF, dzięki czemu możemy przyjąć ją jako charakterystyczną (średnią) wartość. Całkowita energia zostanie zapisana jako

\ [E _ {\ rm tot} \ sim N c p_F _ \ frac {GM ^ 2} {R} \ sim \ frac % {R} \ left (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ {4/3}} – GM ^ 2 \ right). \]

Zauważ, że całkowita energia gwiazdy zależy od dwóch parametrów – masy M i promień Rpodczas gdy tylko masa określa swój znak. Wielkość

\ [M _ {\ rm Ch} \ sim \ frac % {m_p ^ 2} \ left (\ frac {c \ hbar} {G} \ right) ^ {3/2} \ sim 1 {,} 86 ~ M_ {Sun}, \]

który jest również nazywany masą Chandrasekhara, jest granicą między całkowitą energią ujemną i dodatnią. Dokładniejsze obliczenia z realistycznym składem chemicznym dają wartość \ (M _ {\ rm Ch} = 1 {,} 46 ~ M {{Sun} \).

W \ (M> M _ {\ rm Ch} \) całkowita energia gwiazdy jest ujemna i proporcjonalna do 1 /Rco oznacza mniejsze wartości R zapewni bardziej stabilny stan gwiazdy, do którego będzie dążyć. Oznacza to "nieskończone" zwijanie się w kierunku mniejszego promienia. Dlatego, jeśli rdzeń jest większy niż ta masa graniczna, zapadnie się dalej.

Problem polega jednak na tym, że przy \ (M <M _ {\ rm Ch} \) energia całkowita jest dodatnia, a to, jak wiadomo, oznacza rozszerzenie systemu, to jest zwiększenie promienia (w celu zminimalizowania Etot). Należy jednak pamiętać, że \ (p_F \ propto 1 / R \), siła Fermiego zmniejsza się wraz ze wzrostem promienia.

W rozwiązaniu przyjęliśmy, że cząstki są ultrarelatywistyczne i dla nich \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), jednak to założenie można zepsuć za pomocą wystarczająco małego \ (p_F \ sim m_e c \), czyli R > R0gdzie

\ [R_0 \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ {1/3} m_e c}. \]

Następnie musisz użyć innej formuły dla energii cieplnej, a mianowicie \ (E _ {\ rm T} = p_F ^ 2 / 2m_e \), która da nam całkowitą energię wyrażenia

\ [E _ {\ rm tot} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2 M ^ {5/3}} {m_p ^ {5/3} m_e R ^ 2} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Zależność całkowitej energii od promienia pokazano na ryc. 5. Jak widać, istnieje stabilny (Etot <0) minimum na R = RWddo którego system będzie dążył.

Ryc. 5 Wykres zależności całkowitej energii białego karła na promieniu (\ (MR < R0 elektrony są ultrarelatywistyczne, a zależność odwrotnie proporcjonalna do promienia. Na R > R0 Uzależnienie jest nieco bardziej skomplikowane i ma minimalną energię. Wykres z książki V. S. Beskina Mechanika kwantowa i astrofizyka

Możesz łatwo znaleźć to minimum (od Etot jest kwadratowym manekinem względem 1 / R):

\ [R _ {\ rm WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Jeśli zamiast masy zastąpimy masę Chandrasekhara, otrzymamy coś w duchu 5000 km, to znaczy masę Słońca wielkości Ziemi.


Posłowie

Oczywiście taka trywialna analiza "na palcach" nie pretenduje do dokładnego opisu ilościowego. Jednak, co dziwne, jakościowo, a nawet ilościowo, w zakresie wielkości, odpowiedzi są poprawne. Wszakże w pewnym momencie podczas zawalania się jądra, "degeneracja kwantowa elektronów" "włącza się".

Jeśli masa jądra jest większa niż granica Chandrasekhara, to ciśnienie ultrarelatywistycznych zdegenerowanych elektronów nie jest w stanie zatrzymać kompresji, a gwiazda zapadnie się dalej w gwiazdę neutronową. W przeciwnym razie zostanie ustalona pewna równowaga pomiędzy ciśnieniem zdegenerowanych nierelatywistycznych elektronów a grawitacją, przy której zostanie osiągnięta minimalna całkowita energia.

Maksymalna masa Chandrasekhara ma bardzo praktyczne znaczenie.Supernowe pierwszego typu (Ia) powstają w systemach podwójnego akrecji, gdzie materia z potężnej gwiazdy towarzyszącej płynie do pobliskiego białego karła. Symulacja takiego procesu jest pokazana na wideo:

Ze względu na wyciek substancji, masa białego karła rośnie iw pewnym momencie może przekroczyć limit Chandrasekhara. Potem zaczyna się kolejne zawalenie, a system wybucha jak supernowa Ia. Z uwagi na to, że dokładnie wiemy, na jaką masę występuje ta eksplozja (1,44-1,46 masy Słońca w zależności od składu i innych czynników), możemy przewidzieć energię i czas trwania eksplozji.

Znając energię i czas trwania teoretycznie, możliwe jest określenie z dużą dokładnością odległości do eksplodującej supernowej. To sprawia, że ​​supernowe typu Ia znane są jako "standardowe świece", których parametry są nam znane z góry. W szczególności, analizując bardzo odległe eksplozje supernowych Ia pod koniec XX wieku, wykazano, że nasz Wszechświat rozszerza się wraz z przyspieszeniem.

Na początku przedmowy wspomnieliśmy, że druga "granica" przed czarną dziurą dla spadającej gwiazdy jest gwiazdą neutronową. W nim ciśnienie zdegenerowanych neutronów (także cząstek o połowie całkowitym spinie) już zatrzymuje grawitacyjną kompresję gwiazdy.Podobnie jak w przypadku białych karłów, gwiazdy neutronowe mają limit wagowy, zwana granica Tolman-Oppenheimera-Volkov, TOV (Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa).

Zawarcie w dziedzinie, wymaga jednak uwzględnienia wpływu ogólnym wzgl'dnoÊci od wielkości systemu (około 10 km) są porównywalne do wielkości horyzontu zdarzeń Schwarzschilda dla obiektu masy słonecznej (\ (2GM / C ^ 2 \ SIM 3 \) dalej). Ponadto, dla tak dużych gęstości (gęstość gwiazdy neutronowej bliżej centrum przekracza gęstość jądra atomowego), potrzebne jest bardzo dokładne określenie silnych oddziaływań między nukleonami. To znacznie komplikuje obliczenie maksymalnej masy TOV, ale uważa się, że rzeczywista wartość wynosi od 1,5 do 3 mas Słońca.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: