Teoria grup jest nauką o doskonałości. Kilka początkowych definicji i notacji

Grupa teoria – nauka o doskonałości

Evgeny Vdovin

  • Wprowadzenie
  • Kilka początkowych definicji i notacji
  • Aksjomaty grup
  • Przykłady grup
  • Wniosek

Kilka początkowych definicji i notacji

Spróbujemy użyć jak najmniej formuł i specjalnych symboli matematycznych, ale nie możemy bez nich całkowicie obejść się bez nich. Zestawy z reguły będą oznaczone dużymi literami łacińskimi, a ich elementy – małymi literami. Jeśli A – wielu, i a – jakiś element, a następnie nagraj a A powinien przeczytać "element a należy do wielu A", odpowiednio, wpis a A oznacza "element a nie należy do zestawu A„.

Przypomnijmy, że pojęcia zbioru, elementu i członkostwa są podstawowymi niezdefiniowanymi koncepcjami współczesnej matematyki. Każdy zestaw jest określony przez elementy w nim zawarte (które z kolei mogą być również zestawami). Tak więc mówimy, że zestaw jest określony lub zestawjeśli dla dowolnego elementu możemy powiedzieć, czy należy do tego zestawu, czy nie. Dla dwóch zestawów A, B rekordy B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B oznacza odpowiednio B jest podzbiorem zestawu A (tj. dowolny przedmiot z B również zawarte w Ana przykład zestaw liczb naturalnych jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych; poza tym zawsze A A), B jest prawidłowym podzbiorem zestawu A (tj. B A i BA), przecięcie zbiorów B i A (tj. wszystkie takie elementy, które jednocześnie znajdują się w Ai w Bna przykład przecięcie liczb całkowitych i dodatnich liczb rzeczywistych to zbiór liczb naturalnych), połączenie zbiorów B i A (tzn. zestaw składający się z elementów, które znajdują się w Aalbo w B), ustaw różnicę B i A (tj. zestaw elementów, które znajdują się w Bale nie kłamcie A), Kartezjański produkt zbiorów A i B (tzn. zestaw par formularza (a, b) gdzie a A, b B). Przez |A| zawsze oznaczony moc zestawy Atj. liczba elementów w zestawie A. Definicje są zawsze podświetlone. kursywą.

Nie możemy obejść się bez koncepcji mapowania, relacji i równoważności. Nie będziemy podawać ścisłych logicznych definicji tych pojęć, tylko je wyjaśniamy. Mapowanie można uznać za funkcję wiążącą pojedynczy element (nazywany prototyp) jakiś inny element (nazywany sposób). W życiu ciągle mamy do czynienia z koncepcją wyświetlania, na przykład kupując bilet do teatru, w ten sposób tworzymy wystawę między biletem a jakimś miejscem w sali teatralnej. Kiedy otrzymujemy wynagrodzenie, ustalamy mapowanie pomiędzy pracą wykonaną w danym miesiącu a pieniędzmi, które zostaną za nią zapłacone. Analizując listy graczy drużyn piłkarskich, ustalamy mapowanie pomiędzy graczami i drużynami, dla których grają. Tak więc istnieje wiele mapowań, prawie wszystko w naszym życiu jest w taki czy inny sposób mapowane. Istnieją różne typy mapowań specjalnych, a następnie w tekście zostaną użyte następujące 3 typy: mapowanie iniekcyjne (zastrzyk), mapowanie surowe (surowość) i mapowanie bijective (bijection). Mapowanie iniekcyjne to mapowanie mapujące różne obrazy na różne elementy źródłowe. Mapowanie surjective to mapowanie, w którym każdy obraz ma prototyp. Wreszcie, mapowanie bijective to mapowanie, które jest zarówno iniekcyjne, jak i surowe.

Wyjaśnijmy te pojęcia na przykładzie mapowania wielu biletów i mnóstwa miejsc w teatrze.Wyobraźcie sobie kino w hrabstwie N, w którym Tarcza i Miecz idą tysiąc razy. Oczywiście, jest tylko kilku, którzy chcą to zobaczyć, i jest tylko jedna para, która bierze dwa bilety w "linii pocałunku". Po przybyciu do kina, para, ku ich radości, zdaje sobie sprawę, że są tu sami, ale jako wykształceni ludzie zajmują miejsca wskazane w biletach. W tym przypadku mapowanie jest oczywiście iniekcyjne, ponieważ różne bilety odpowiadają różnym miejscom. Nie jest to jednak surowe, ponieważ wciąż mamy wiele pustych miejsc, w których nie sprzedano ani jednego biletu. W związku z tym nieprzypisowe mapowanie jest wyraźnie nieopłacalne dla administracji kinowej.

Wyobraźmy sobie, że następnego dnia, w tym samym kinie tego samego miasta, obiecali wystrzelenie nowego hitu z Tarantino i zasugerowali, że sam Tarantino odpowie na pytania publiczności po filmie. Oczywiście kasy biletowe są pełne ludzi, a kierownictwo "omyłkowo" sprzedaje dwa zestawy biletów w te same miejsca. Nie opiszemy tutaj demontażu z powodu jednego miejsca, które miało miejsce w sesji, zauważamy tylko, że wyświetlacz jest teraz surdytywny, ponieważ bilet został sprzedany dla każdego miejsca, ale nie jest wstrzykiwany, ponieważ są dwa bilety na każde miejsce.W związku z tym mapowanie nieinwazyjne jest w bezpośredniej sprzeczności z prawami konsumentów i prawdopodobnie podlega przepisom ustawy "O ochronie praw konsumentów".

Cóż, w ostatnim przypadku spójrz na to samo kino w mieście N w przededniu 1 stycznia 2006 roku. Szeroko nagłośniony pierwszy film roku po raz kolejny powoduje publiczną agiotage, ale teraz zarządzanie, nauczone przez wcześniejsze gorzkie doświadczenia, dokładnie zapewnia, że ​​dokładnie jeden zestaw biletów jest sprzedawany dla każdej sesji. W rezultacie każdy z widzów spokojnie zajmuje jego miejsce, a każda sesja zaczyna się od pełnego domu. Tak więc ten ostatni przykład jest zarówno odbiciem iniekcyjnym, jak i refleksyjnym, czyli biempionem. W związku z tym bijing jest złotym środkiem, który jest jak najbardziej korzystny dla dyrekcji, a jednocześnie jak najbardziej wygodny dla widowni. Ta koncepcja biografii była właśnie matematyczną formalizacją intuicyjnej koncepcji symetrii, która została omówiona we wstępie. Dlatego nie jest zaskakujące, że jest to najdoskonalszy wyświetlacz w tym przypadku.

Mapowanie z zestawu A w zestawie B zadzwoń do jakiejś reguły, używając której, każdy element A możesz dopasować pojedynczy przedmiot z B. Odwzorowania będziemy zazwyczaj oznaczać greckimi literami i pisać φ : ABi obraz dowolnego elementu a A względem wyświetlenia φ jest nagrywane . Taki zapis wydaje się początkowo nietypowy i niewygodny dla tych, którzy są przyzwyczajeni do pisania funkcji (specjalny przypadek odwzorowań) jako φ(a), ale dla naszej prezentacji będzie to wygodniejsze. Jeśli są 3 zestawy A, B, C i dane odwzorowania φ : AB i ψ : BCwtedy możesz zbudować mapowanie φψ : AC as skład (wykonanie sekwencyjne) mapowania φ i ψ. Zauważ, że jeśli nagraliśmy wyświetlacz po lewej stronie, kompozycja φψ musielibyśmy czytać od prawej do lewej, po arabsku. W przyszłości będziemy potrzebować następujących specjalnych rodzajów map: zastrzyk (Wyświetl φ : AB o nazwie iniekcyjny, jeśli jest inny x, y A przedmioty , również różne) surowość (Wyświetl φ : AB zwany surekive jeśli dla jakiegokolwiek y B jest taki x Ato = y), bijection (wstrzyknięcie i wytrysk w tym samym czasie). Przykładami odwzorowań od liczb wymiernych do racjonalnych mogą być odwzorowania: xx3, xx2, xx/ 2. Pierwsza z nich jest iniekcyjna, ale nie suriektywna, druga nie jest ani surekcyjna, ani iniekcyjna, trzecia to biempionacja.

Inną ważną koncepcją matematyki jest pojęcie związek. Postawa może być uważana za pewną regułę, która dla dowolnych dwóch elementów (przedmiotów, rzeczy, istot żywych itd.) Umożliwia określenie, czy są one pod tym względem, czy nie. W naszym życiu stale wchodzimy i jesteśmy, chcąc nie chcąc, w wielu różnych związkach. Na przykład w odniesieniu do pokrewieństwa (z różnym stopniem bliskości), postawy pracownika-pracodawcy, relacji kierowcy-pasażera, sprzedawcy-kupującego, itd. Wszystkie te relacje mają różny charakter, różne właściwości i matematyczne studia dokładnie właściwości relacji, nie dbanie o swoją naturę.

Mówimy to na pewnym planie A zestaw Współczynnik Rjeśli dla dowolnych dwóch elementów a, b z A możemy stwierdzić, czy są w związku R lub nie. Innymi słowy, nastawienie R istnieje mapowanie R : A × A → {1, 0}, gdzie wartość 1 odpowiada "prawda", a wartość 0 – "fałsz" (należy pamiętać, że kolejność, w jakiej są podejmowane elementy, jest ważna a i b).Zazwyczaj do oznaczenia relacji użyjemy znaków specjalnych отношений, ~, itp. Relacja jest dogodnie napisana jako a ~ bjeśli a i b są w związku R i a bjeśli a i b nie w związku R. Relacja ~ na zestawie A zadzwonił według równoważnościjeśli spełnione są następujące aksjomaty:

(ECB1)
dla każdego a A zrobione a ~ a (aksjomat refleksyjności);

(ECB2)
dla każdego a, b z A z a ~ b następuje b ~ a (aksjomat symetrii);

(ECB3)
dla każdego a, b, c z A z a ~ b i b ~ c następuje a ~ c (aksjomat przechodniości).

Przykładami relacji są stosunek rzędu ≥ na zbiorze liczb rzeczywistych, stosunek podzielności na zbiorze liczb całkowitych, stosunek równości na zbiorze liczb rzeczywistych, stosunek równości pozostałości z dzielenia przez ustaloną liczbę naturalną na zbiorze liczb naturalnych. Zwróć uwagę, że pierwsze dwie relacje nie są równoważne, a dwie ostatnie są. Istnieje specjalna nazwa dla ostatniej relacji: liczby całkowite m, n są wywoływane porównywalne modulo k (napisane jako mn (mod k)) jeśli nm podzielone przez k.

Jeśli na planie A biorąc pod uwagę stosunek równoważności ~, wtedy cały zestaw dzieli się na klasy równoważności – podzbiory parami równoważnych elementów i dowolne dwie klasy albo nie przecinają się, albo nie pokrywają się. Rzeczywiście, przypuśćmy C1, C2 – dwie klasy równoważności i ich przecięcia C1C2 jest niepusty i zawiera jakiś element x. Następnie dla dowolnego elementu y C1, z definicji klasy równoważności, spełnione x ~ y. Ponadto dla każdego z C2, ponownie z definicji klasy równoważności, spełnione z ~ x. Dzięki aksjomatowi przechyłki (warunek (EKV3)) otrzymujemy to y ~ zznaczy C1 = C2. Zbiór klas zestawu A przez równoważność ~ oznaczony przez A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
– nauka o doskonałości ">

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: