Choinki i latarnie • Konstantin Knop, Jewgienij Epifanow • Popularne zadania naukowe na temat "Elementów" • Matematyka

Choinki i latarnie

Zadanie

Na dużym, bardzo dużym placu w noc sylwestrową zainstalowano wiele choinek bożonarodzeniowych i wiele latarń, a drzew było więcej niż latarnie. Czy to możliwe okazuje się, że w odległości 1 metra od każdego drzewa jest dokładnie 8 świateł? (Choinki i latarnie są uważane za kropki, a obszar jest płaski.)


Wskazówka 1

Tak, może być.


Wskazówka 2

Spróbuj najpierw znaleźć rozwiązanie dla prostszego przypadku: gdy w odległości 1 m od każdego drzewa znajdują się 2 latarnie i drzewo więcej niż latarnie.


Rozwiązanie

Najpierw omawiamy prostszą obudowę z końcówki 2. Umieść światła w kwadratowej sieci o boku 2 m, a choinki na środku wszystkich segmentów między dwoma sąsiednimi światłami. Jeśli z jednej strony jest N latarnie, wtedy będą liczyć się całe latarnie N2. Yolok z 2N(N – 1), ponieważ połowa z nich znajduje się na pionowych segmentach, a połowa – na poziomie. Już w N = 3 drzewa będą czymś więcej niż latarniami. Rysunek 1 pokazuje sytuację, kiedy N = 5: na powierzchni 25 lampionów i 40 choinek.

Ryc. 1.

W rozwiązaniu głównego zadania zachowamy położenie lamp i prawie wszystkie choinki (te, które nie spełniają warunku, po prostu usuwają je z kwadratu). A co można zmienić? Paradoksalnie najlepiej jest zmienić jednostkę miary, czyli miernik. Wkrótce będzie jasne, dlaczego.

Załóżmy, że jest duży obszar, na którym drzewa i latarnie stoją w taki sam sposób, jak w przykładzie zdemontowanym powyżej. Najpierw odpowiemy na to pytanie: czy w danej choince jest koło z centrum, na którym znajduje się dokładnie 8 lampionów? Możemy założyć, że to drzewo jest źródłem współrzędnych, a osie współrzędnych biegną równolegle do segmentów łączących najbliższe latarnie (niech oś odciętych biegnie wzdłuż segmentu, na którym stoi nasze drzewo). Wtedy światła będą miały współrzędne formy (2k + 1, 2l) gdzie k i l – liczby całkowite (jednostka skali – licznik, którego jeszcze nie zmieniliśmy). Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, kwadrat odległości od lampy o współrzędnych (2k + 1, 2l) do drzewa jest (2k + 1)2 + (2l)2. Takie sumy mogą być sobie równe dla różnych par liczb całkowitych (k, l). Na przykład 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Oznacza to, że światła w punktach (7, 4) i (1, 8) znajdują się w równej odległości od drzewa. Ale w tej samej odległości od niego znajdują się również światła, które znajdują się w punktach (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), a wszystkie takie lampy będą miały dokładnie 8 (na rys. 2 są pokazane na niebiesko, dla jasności przez nie przeciąga się koło). Ogólnie mówiąc, nie udowodniliśmy, że nie będzie ich więcej niż ośmiu, ale to proste ćwiczenie zostanie pozostawione czytelnikowi do niezależnej decyzji.

Ryc. 2

Teraz jesteśmy gotowi na obiecaną "zmianę licznika". Teraz pozwól nowy licznik będzie promieniem tego koła, na którym znaleźliśmy 8 świateł. Następnie dla wszystkich choinek, które są wystarczająco "głęboko w kwadracie", spełniony zostanie warunek około 8 świateł. Pozostaje obliczyć, co jest "głęboko w środku". Drzewo powinno być takie, aby po prawej i lewej stronie znajdowało się 7 "starych metrów", a powyżej – na lampach 8 "starych metrów". Ile takich drzew znajduje się na poziomych segmentach, jeśli liczba lamp znajduje się wzdłuż boku kwadratu N? Musimy usunąć drzewa górnych i dolnych czterech rzędów oraz drzewa trzech lewej i trzech prawych środkowych segmentów. Oznacza to, że teraz w każdym rzędzie poziomym N – 7 choinek (i nie N – 1, jak było wcześniej), a teraz są rzędy takich N – 8, nie N. To samo można powiedzieć o drzewach w rzędach pionowych, więc całkowita liczba drzew wynosi 2 (N − 7)(N – 8). Nierówność 2 (N − 7)(N − 8)>N2 wykonywane w N ≥ 26 (ryc. 3). Z takimi N warunek zadania zostanie spełniony

Ryc. 3


Posłowie

Zauważ, że w naszym rozwiązaniu wykorzystaliśmy idee, które były bliskie pod uwagę w zadaniu Koła na papierze w kratkę. Opisuje szczegółowo sposób wyszukiwania na płaszczyźnie szachownicy okręgu, który przechodzi przez określoną liczbę węzłów siatki.Zauważamy również, że nasze zadanie można rozwiązać w inny sposób: patrz rozwiązanie problemu M1129 z "Księgi zadawanych pytań" "Zadania".

Ogólnie rzecz biorąc, problemy z konfiguracją skończonej liczby punktów na płaszczyźnie, która zaspokoiłaby pewne właściwości, są bardzo liczne. Wydaje się, że wszystko to powinno być "dziecinne", takie jak nasze, ale wiele takich problemów okazuje się bardzo skomplikowanymi i zaangażowani są w to profesjonalni matematycy. Dział matematyki poświęcony podobnym problemom – geometria kombinatoryczna – rozwinął się w ciągu całego XX wieku, a Paul Erdos wniósł wielki wkład w ten proces.

Wiele problemów związanych z kombinatoryczną geometrią urzeka prostotą ich receptur. Na przykład: aby udowodnić, że jeśli nie wszystkie punkty w zestawie leżą w jednej linii, to jest linia przechodząca przez dokładnie dwa z tych punktów. Jest to twierdzenie Sylvestera-Gallaia, które zostało rozwiązane od dłuższego czasu. Ale, jak przystało na dobry problem, wynikają z niego inne pytania: skoro to twierdzenie stwierdza, że ​​musi istnieć przynajmniej jedna prosta przechodząca przez dokładnie dwa punkty, ile takich linii prostych może być? Kilka lat temu artykuł Terence'a Tao opublikował artykuł na ten temat, który po raz kolejny pokazuje, że od prostych pytań do najnowocześniejszych dziedzin nauki często jest dość krótka droga.

Autor problemu i rozwiązania: Konstantin Knop
Autor postu: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: