Brian Davis: "Dokąd zmierza matematyka?" • Alexander Sergejew • Wiadomości naukowe na temat "Elementów" • Matematyka, metodologia naukowa

Brian Davis: „Gdzie idzie matematyka?”

Profesor Brian Davis, Wydział Matematyki, King's College, Londyn (fot. Www.mth.kcl.ac.uk)

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne przyjęło do publikacji artykuł Briana Daviesa, profesora z Royal College of London. W pracy zatytułowanej "Whither Mathematics?" ("Dokąd zmierza matematyka?"), Twierdzono, że w XX wieku najdokładniejsze z nauk ścisłych doświadczyło zmiany, która zasadniczo zmienia charakter uzyskanych w niej wyników. W przyszłości, według profesora Davisa, matematyka stanie się zupełnie inna od nauki znanej od dwóch tysięcy lat.

Przez tysiąclecia wierzono, że matematyka objawia niezłomne, wieczne prawdy. Wiele niezwykłych stwierdzeń matematycznych, takich jak twierdzenia geometrii euklidesowej, jest prawdą w naszych czasach, podobnie jak dwa tysiące lat temu. Niemniej jednak w XX wieku matematyka przeżyła trzy głębokie kryzysy, które znacząco zmieniły status badań matematycznych.

Pierwszy z tych kryzysów wiąże się z twierdzeniem o niezupełności Godla, które stwierdza, że ​​w jakimkolwiek wystarczająco bogatym systemie aksjomatycznym istnieją zdania, których nie można ani udowodnić, ani obalić.Chociaż twierdzenie Gödla miało raczej niewielki wpływ na praktyczną pracę matematyków, jest ono bezpośrednio związane z problemem statusu ontologicznego obiektów matematycznych.

Większość matematyków, pisze Brian Davis, intuicyjnie stosuje się do pojęcia znanego jako platonizm. Zgodnie z tą koncepcją jednostki i konstrukcje matematyczne, podobnie jak idee Platona, mają pewną obiektywną egzystencję, na przykład, jako możliwości logiczne. Ale dla obiektywnych bytów, wszystkie własności muszą być całkowicie jednoznacznie określone, co jest prawie niezgodne z twierdzeniem Gödla.

Cztery kolory wystarczą, aby pokolorować mapę Wielkiej Brytanii, aby żadne dwa sąsiednie powiaty nie były pomalowane w tym samym kolorze. Możesz więc pokolorować dowolną mapę w samolocie. Twierdzenie sformułowano w 1852 r. I udowodniono w 1976 r. Za pomocą komputera (ryc. Z książki Wielkiego twierdzenia Fermata, MCNMO, 2000)

Brian Davis opowiada o drugim kryzysie na inwazję matematyki komputerowej. Biorąc pod uwagę przykład czterokolorowego twierdzenia o kolorystyce mapy, przypomina, że ​​pełne wyliczenie wszystkich gałęzi w dowodzie było możliwe tylko na komputerze.Jednak wielu matematyków ma poważne wątpliwości co do tego, na ile można ufać takim dowodom, które nigdy nie zostały w pełni zweryfikowane "ręcznie".

Krytyka ma tu kilka aspektów. Po pierwsze, komputer może zawieść w obliczeniach. Nawet jeśli wynik jest kilkakrotnie testowany, zwiększa to tylko prawdopodobieństwo poprawności dowodu, ale nie czyni go absolutnie pewnym. Po drugie, procesor i programy pomocnicze (kompilator, biblioteki itp.) Mogą zawierać (a nawet pewnie zawierać) błędy i nie można całkowicie wykluczyć ich wpływu na poprawność dowodu. I na koniec najważniejsza rzecz: sam program, który został napisany w celu wyszukania lub weryfikacji dowodów, może również zawierać błędy. Ściśle matematyczne upewnienie się, że jest w pełni zgodne ze specyfikacją, jest równie trudne, jak ręczne sprawdzenie dowodu za jego pomocą (i prawdopodobnie trudniejsze). Wystarczy powiedzieć, że opisy języków, w których napisane są programy, zawierają setki stron nie zawsze idealnie czystego tekstu. Włączenie takich opisów do sformułowania twierdzenia pozbawia każdą perspektywę uzyskania dowodu.

Wszystkie te rozważania doprowadziły do ​​tego, że wielu czystych matematyków jest skrajnie sceptycznych wobec dowodów uzyskanych za pomocą komputerów. Niemniej jednak w ostatnich dziesięcioleciach pojawiło się coraz więcej twierdzeń, których dowody są całkowicie niepojęte dla ludzkiego umysłu, jeśli nie są wzmacniane przez komputer.

Thomas Hales z University of Michigan demonstruje rozwiązanie problemu Keplera dotyczącego najgęstszego upakowania kul w przestrzeni kosmicznej, które czeka na jego rozwiązanie od 1611 roku (zdjęcie z www.umich.edu)

Jako przykład, Davis podaje rozwiązanie tak zwanego problemu Keplera dotyczącego najbardziej gęstego pakowania kulek. W 1998 r. Thomas Hales zapoznał się z czasopismem Roczniki matematyki dowód odpowiedniego oświadczenia, który przejął ponad 250 arkuszy i uwzględnił, wraz z rozumowaniem geometrycznym, wyniki obszernych obliczeń komputerowych. Grupa dwudziestu ekspertów, którzy zaczęli analizować dowody, w końcu załamała się w 2004 r. I nie doszła do ostatecznego wniosku co do poprawności dowodów.

Ale wciąż, jako prawdziwe zwieńczenie "koszmaru złożoności", Brian Davis podaje kolejny przykład – problem znany jako klasyfikacja prostych grup skończonych.W przypadku omawianej kwestii nie jest tak ważne, jaki jest sam problem. Ważne jest, aby teoria grup leżała u podstaw wielu dziedzin badań w dziedzinie fizyki i matematyki, dlatego też kwestia klasyfikacji grup jest bardzo ważna.

Aby rozwiązać ten problem w latach 70., stworzono międzynarodowe konsorcjum matematyków. Około stu teoretyków podzieliło pracę między sobą i zaczęło rozwiązywać problem. Jest to najwyraźniej jedyny przykład w historii takiego "przemysłowego" podejścia do rozwiązania problemu matematycznego. Stopniowo wyodrębniono trzy nieskończone rodziny grup i 26 specjalnych przypadków grup skończonych (istnienie największego z nich odkryto tylko za pomocą komputerów).

Następnie pojawiło się pytanie o wyczerpujący charakter tej klasyfikacji. Kiedy prace różnych grup zaczęto łączyć w jeden ogólny dowód, zaczęto odkrywać liczne luki. Większość z nich stopniowo się zamknęła. Niemniej jednak, w tej chwili – 25 lat po pierwszym ogłoszeniu, że twierdzenie jest udowodnione – opublikowano tylko 5 z 12 tomów pełnego dowodu.

Według ekspertów dowody można uznać za dość stabilne. Oznacza to jednak, że obecnie znane luki w dowodach nie mają fundamentalnego charakteru i najwyraźniej można je zamknąć kosztem umiarkowanych wysiłków i bez zmiany ogólnej strategii dowodzenia. Niemniej jednak samo istnienie tych luk sugeruje, że niemożliwe jest zagwarantowanie wiarygodności gigantycznego dowodu jako całości. Ale nawet gorzej, nawet jeśli z czasem wszystkie luki w dowodzie mogą zostać zamknięte, jest mało prawdopodobne, że na Ziemi będzie co najmniej tuzin matematyków, którzy wystarczająco rozumieją logikę monstrualnego dowodu.

Tak więc matematyka stanęła przed problemem niemal nie do pokonania złożoności dowodów. Rozwiązanie ważnego zadania, sformułowane w kilku zdaniach, może zajmować dziesiątki tysięcy stron, co w rzeczywistości uniemożliwia pełne jego zarejestrowanie i zrozumienie.

W podsumowaniu artykułu Brian Davis opisuje naturę zmian w matematyce. "W 1875 roku każda osoba zdolna do matematyki mogła w ciągu kilku miesięcy w pełni zrozumieć dowód większości znanych twierdzeń.Do roku 1975 … matematyka wciąż mogła w pełni zrozumieć dowód na każde udowodnione twierdzenie. Do roku 2075 wiele obszarów czystej matematyki będzie zależało od twierdzeń, których żaden z matematyków nie rozumie, ani indywidualnie, ani zbiorowo. … Sprawą formalną będzie formalna weryfikacja złożonych dowodów, ale będzie wiele wyników, których uznanie będzie oparte na konsensusie społecznym, nie mniej niż na ścisłych dowodach. "

Podobnie jak inżynierowie, matematycy nie będą mówić o solidnej wiedzy, ale o stopniu zaufania do wiarygodności ich wyników. Może to zbliżyć matematykę do innych dyscyplin i być może doprowadzić do usunięcia filozoficznego pytania o specjalny status ontologiczny obiektów matematycznych.

Aleksander Siergiejew

P.S. Pełny tekst artykułu można znaleźć tutaj. W mojej osobistej opinii zdecydowanie zasługuje na tłumaczenie na język rosyjski.


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: